Clm Posté(e) le 31 janvier 2011 Signaler Posté(e) le 31 janvier 2011 Bonjour/Bonsoir je suis en plein soirée DM de maths et je lutte sur un des exercices de ce DM, étant pas top sur la question des barycentres, je préfère donc demander au autrui de m'aider à la résolution de l'exercice suivant : Soit A, B, C trois points du plan non alignés de l'espace, et a,b,c trois réels tels que a+b+c soit différent de 0 L'objectif de l'exercice est de démontrer que l'intérieur du triangle ABC, côté compris est l'ensemble de tous les barycentres des points A, B, C affectés de coefficients respectifs a, b et c de même signe. 1- a- Démontrer que si l'un des coefficients a, b, c est nul et les deux autres sont du même signe, alors le barycentre G des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à l'un des côtés du triangle ABC/ b- Etudier la réciproque de l'implication démontrée dans la question 1-a 2- Dans toute la suite on considère trois réels a, b, c non nul tels que a+b+c soi différent de 0 Démontrer que pour tout barycentre des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ), avec a, b, c de même signe, on peut supposer que a,b et c sont strictement positifs. 3- On considère le barycentre G des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) ou a, b, c sont strictement positifs a- On note H le barycentre partiel de ( B;b ) et ( C,c ). Que peut on dire du point H? Et du point G? b- En déduire que G est situé à l'intérieur du triangle ABC, côtés exclus. 4- Réciproquement on considère un point M situé a l'intérieur du triangle ABC, côtés exclus. On note K le point d'intersection de la droite (AM) et du segment [bC] a- Justifier l'existence d'une réel x appartenant à ]0;1[ tel que K est le barycentre des points pondérés ( B,1-x ) et ( C, x ). b- Justifier l'existence d'une réel y appartenant à ]0,1[ tel que M est la barycentre des points pondérés ( A,1-y ) et ( K,y ) c- En déduire que M est un barycentre des points A, B et C affectés de trois coefficients strictement positifs. 5- Conclure. Voilà, merci d'avance à celui qui pourra m'aider !
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 1 février 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 1 février 2011 Soient A, B, C trois points du plan non alignés de l'espace, et a,b,c trois réels tels que a+b+c soit différent de 0 L'objectif de l'exercice est de démontrer que l'intérieur du triangle ABC, côté compris est l'ensemble de tous les barycentres des points A, B, C affectés de coefficients respectifs a, b et c de même signe. 1-a- Démontrer que si l'un des coefficients a, b, c est nul et les deux autres sont du même signe, alors le barycentre G des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à l'un des côtés du triangle ABC/ G est le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) ==> a*GA+b*GB+c*GC=0 si a=0 alors b*GB+c*GC=0 ==> GB=-(c/b)*GC et si b et c sont de même signe alors GB et GC sont de signes contraires ce qui signifie que G appartient à [bC] De la même manière on démontrerait que si b=0 allors G appartient à [AC] et si c=0 alors G appartient à [AB] b- Etudier la réciproque de l'implication démontrée dans la question 1-a Réciproquement si le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à [AB] alors a*GA+bGB=0 ==> c*GC=0 ==> c=0 et GA/GB <0 ==> a/b >0 ==> a et b sont de même signe On démontrerait de même que : - si le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à [AC] alors a*GA+cGC=0 ==> b*GB=0 ==> b=0et GA/GC <0 ==> a/c >0 ==> a et c sont de même signe - si le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) appartient à [bC] alors b*GB+cGC=0 ==> a*GA=0 ==> a=0 et GB/GC <0 ==> b/c >0 ==> b et c sont de même signe 2- Dans toute la suite on considère trois réels a, b, c non nul tels que a+b+c soi différent de 0. Démontrer que pour tout barycentre des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ), avec a, b, c de même signe, on peut supposer que a,b et c sont strictement positifs. G est le barycentre de ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) ==> a*GA+b*GB+c*GC=0, si a, b et c sont de même signe alors la relation a*GA+b*GB+c*GC=0 qui peut aussi s'écrire -a*GA-b*GB-c*GC=0 est vérifié ce montre qu'elle est indépendante du signe de a, b et c lorsqu'il sont de même signe ce qui permet de supposer que a,b et c sont strictement positifs. 3- On considère le barycentre G des points pondérés ( A,a ), ( B,b ), ( C,c ) ou a, b, c sont strictement positifs a- On note H le barycentre partiel de ( B;b ) et ( C,c ). Que peut on dire du point H? Et du point G? b*HB+cHC=0. b et c étant de même signe alors H appartient à [bC] b- En déduire que G est situé à l'intérieur du triangle ABC, côtés exclus. a*GA+b*GB+c*GC=0 ==> a*(GH+HA)+b*(GH+HB)+c*GC=0 ==> (a+b)*GH+c*GC=0 ==> a,b et c étant de même signe G appartient à [HC] H et C étant exclut. En considérant le barycentre I de (A,a) et (C,c) on démontrerait de même que G appartient à [JB] J donc AC et B étant exclut. Enfin en considérant le barycentre K de (B,a) et (C,c) on démontrerait de même que G appartient à [KA] K donc BC et A étant exclut ce qui montre que G appartinet à l'intérieur du traiangle ABC côtés exclus. 4- Réciproquement on considère un point M situé a l'intérieur du triangle ABC, côtés exclus. On note K le point d'intersection de la droite (AM) et du segment [bC] a- Justifier l'existence d'une réel x appartenant à ]0;1[ tel que K est le barycentre des points pondérés ( B,1-x ) et ( C, x ). K appartient à BC on pose x=BK/BC ==> x*(BK+KC)=BK ==> x*KC=BK*(1-x) ==> x*KC+KB*(1-x)=0 ==> K est le barycentre des points pondérés ( B,1-x ) et ( C, x ). K appartenant [bC] , 1-x et x sont de même signe donc x>0 b- Justifier l'existence d'une réel y appartenant à ]0,1[ tel que M est la barycentre des points pondérés ( A,1-y ) et ( K,y ) K appartient à AC on pose y=AM/AK ==> y*(AM+MK)=AM ==> y*MK = AM*(1-y) ==> y*MK+MA*(1-y)=0 ==>M est le barycentre des points pondérés ( A,1-y ) et ( K, y ). M appartenant [AK] , 1-y et y sont de même signe donc y>0 c- En déduire que M est un barycentre des points A, B et C affectés de trois coefficients strictement positifs. y*MK+MA*(1-y)=0 ==> y*(MC+CK)+MA*(1-y)=0 ==>y*MC+y*CK+MA*(1-y)=0 x*KC+KB*(1-x)=0 ==> x*KC+(KC+CB*)(1-x)=0 ==> x*KC+(1-x)*KC+(1-x)*CB=0 ==> CK=(1-x)*CB ==>y*MC+y*(1-x)*CB +MA*(1-y)=0 ==>y*MC+y*(1-x)*(CM+MB )+MA*(1-y)=0 ==> y*x*MC+(1-x)*MB+(1-y)MA=0 et M est le barycentre des points (A,1-y), (B,1-x) et (C,x*y) 5- Conclure. A, B, C étant trois points du plan non alignés de l'espace, et a,b,c trois réels tels que a+b+c soit différent de 0, l'intérieur du triangle ABC, côté compris est l'ensemble de tous les barycentres des points A, B, C affectés de coefficients respectifs a, b et c de même signe. à vérifier....
Clm Posté(e) le 1 février 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 1 février 2011 Merci d eprendre le temps de répondre par contre je ne comprend pas parfois vous mettez des BK/BC par exemple, je comprend que ca sont des vecteurs... Mais on a le droit de diviser des vecteurs?
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 1 février 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 1 février 2011 Merci d eprendre le temps de répondre par contre je ne comprend pas parfois vous mettez des BK/BC par exemple, je comprend que ca sont des vecteurs... Mais on a le droit de diviser des vecteurs?
Clm Posté(e) le 1 février 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 1 février 2011 Intéressant! Merci ! J'ai rajouté quelques explications et traité les détails non traités grâce à votre aide, merci encore
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