Exercice De Math Sur Les Nombres Complexes

[micka.micka]

Bonjour à tous, j'aurai besoin de vôtre aide pour un exercice de math s'il vous plaît car c'est vraiment dur :/

Donc voila le sujet,

On note i le nombre complexe tel que i²= -1

Pour tout nombre complexe z, on pose P(z)= z^4 - 12z^3 + 80z^2 - 200z + 500

1. a) Calculer P(0) et P(1)

b) En déduire les deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on a:

P(z)= (z^2 - 2z +10) (z^2 + az + b)

2. a) on considère le nombre complexe Z1 = 1 +3i

Exprimer la fonction de z l'expression Q(z) = (z-z^1) (z - zbarre1)

b) On considère le nombre complexe z2 =5 + 5i

Exprimer en fonction de z l'expression R(z) = (z-z2) (z-zbarre2)

c) En déduire les solutions dans C de l'équation P(z) = 0

Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement,

MICKA

[Barbidoux]

1a------------------------

P(z)=z^4 - 12*z^3 + 80 z^2 - 200 z + 500

P(0)=500

P(1)=369

1b------------------------

P(z)=(z^2-2*z+10)*(z^2*a*z+b)

Il est évident que b=50

P(z)=(z^2-2*z+10)*(z^2*a*z+50)=z^4+a z^3-2 z^3-2 a z^2+60 z^2+10 a z-100 z+500

en identifiant on obtient a=-10

2a---------------------------

z₁=1+3*i

Q(z)=(z-1-3*i)(z-1+3*i)=z^2-2*z+10

2b---------------------------

z₂=5+5*i

Q(z)=(z-5-5*i)(z-5+5*i)=z^2-10*z+50