Exercice Fonction Expo N°2

[jen717]

Bonjour,

J'ai un exercice que je n'arrive pas à faire. Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Partie I

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e^-x^é. Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

1) Etudier la parité dé f

2) Déterminer f'(x) et f''(x)

3) Dresser le tableau de variations de f sur R^+ puis sur R dont on précisera les limites

4) Montrer que l'équation f''(x) = 0 admet une unique solution x0 dans R^+

5) Déterminer l'équation de la tangente T à C au point d'abcisse x0

Partie II

Soit g la fonction définie sur R^+ par g(x) = f(x) + (V2/Ve)x - 2/Ve (je mets V pour les racines)

1) Calculer g'(x) et g''(x)

2) Dresser le tableau de variations de g'

3) En déduire le signe de g'(x) sur R^+ et le sens de variations de g

[jen717]

Voici ce que j'ai pu faire:

Partie I

1) Etudions la parité de f

f(-x) = e^-x

f est paire

2) Déterminons f '(x)

f'(x) = (e^-x^2)'

f'(x) = -2xe^-x^2

Déterminons f ''(x)

f''(x) = 4x^2e^-x-2e^-x^2

3) Tableau de variations de f sur R^+

-l'infini 0 +l'infini

signe f'(x) + 0 -

Variations de f croissant 0 décroissant

4) Montrons que l'équation f''(x) = 0 admet une unique solution x0 dans R ? Je bloque car mon problème est que mon prof m'a appris que quand on cherche une unique solution dans un intervalle donné la fonction est strictement soit croissante soit décroissante mais continue. Or dans mon tableau de variations, je n'ai pas écrit cela du tout.

5) Déterminons l'équation de la tangente T à C au point d'abscisse x0

y = ax+b

mais après je ne sais pas

Partie II

1) g'(x) = -2xe^(-x^2)+ V(2/e)

g''(x) = 4x^2 e ^(-x^2) - 2e^(-x^2)

2) Tableau de variations

-l'infini 0 +l'infini

signe f'(x) - 0 +

Variations de f décroissant 0 croissant

3) Je ne sais pas.

Merci de m'aider.

[Barbidoux]

Les fonctions à étudier sont elles bien :

f(x)=exp(x^2) et g(x)=f(x)+√(2/exp(1))*x+2/√exp(1)

[jen717]

C'est f(x) = e^(-x^2)

et pour g (x) c'est bien ce que vous avez écrit.

g(x) = f(x) + (V2/Ve) x - 2/Ve

[Barbidoux]

Partie I

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = exp(-x^2). Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal

1) Etudier la parité dé f

f(-x)=exp(-x^2)=f(x) ==> fonction paire, son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées...

2) Déterminer f'(x) et f''(x)

f'(x)=-2*x*exp(-x^2)

f''(x)=4*x^2*exp(-x^2)-2*exp(-x^2)=4*exp(-x^2)(x^2-1/2)

3) Dresser le tableau de variations de f sur R^+ puis sur R dont on précisera les limites

Lorsque x-> ∞ ou -∞ f(x) ->0

x...............................0.............................

f'(x)........(-)................(0)..........(+)..............

f(x).....crois..............Max.......decrois............

4) Montrer que l'équation f''(x) = 0 admet une unique solution x0 dans R^+

f''(x)=4*exp(-x^2)(x^2-1/2) s'annule pour le pour x=√2/2 et x=-√2/2 donc la racine sur R⁺ est √2/2 ==> x₀=√2/2

5) Déterminer l'équation de la tangente T à C au point d'abcisse x0

y=-2*x₀*exp(-x₀^2)*(x-x₀)+exp(-x₀^2)=-√2/exp(1)*(x+√2/2)+1/√exp(1)

y=(2-√2*x)/exp(1)

Partie II

Soit g la fonction définie sur R^+ par g(x) = f(x) + (V2/Ve)x - 2/Ve (je mets V pour les racines)

1) Calculer g'(x) et g''(x)

g'(x)=f'(x)+√(2/exp(1))=-2*x*exp(-x^2)+√(2/exp(1))

g"(x)=f"(x)=4*exp(-x^2)(x^2-1/2)

2) Dresser le tableau de variations de g'

x.......................-√2/2...........................√2/2....................

g"(x)........(+).........(0)..........(-)...............(0).........(+).........

g'(x)......crois........Max.......decrois.......Min........crois........

3) En déduire le signe de g'(x) sur R^+ et le sens de variations de g

Max= g(-√2/2)=2*√(2/exp(1))

Min=g(√2/2)=0 et g'(x) > 0 pour toute valeur de x ==> g(x) est une fonction croissante sur son intervalle de définition.

Partie III

1) déduire de ce qui précède les positions relatives de C et T

f(x)-y=g(x) or g(√/2/2)=0. La fonction g(x) est une fonction croissante sur son intervalle de définition donc <0 pour x<√2/2 et >0 pour x>√2/2. En conséquence et le graphe de f(x) est en desous de celui de sa tangente pour x <√2/2 et au dessus pour x >√2/2

2) Tracer C, T et la tangente T' à C au point d'abscisse -x0 sur l'intervalle -2;2

[jen717]

Je n'ai pas compris comment vous avez fait pour trouver l'unique solution dans R (question 4 partie I). Pourriez vous me l'expliquer s'il vous plait ?

Merci

[jen717]

Je n'avais pas mis la fin de l'exercice car je pensais pouvoir le faire mais ...

Partie III

1) déduire de ce qui précède les positions relatives de C et T

2) Tracer C, T et la tangente T' à C au point d'abscisse -x0 sur l'intervalle -2;2

1) Je rentre la courbe et la tangente dans ma calculette graphique mais ça me donne la même fonction C serait égale à T ?

2) Comment trouve t'on la tangente T' à C au point d'abscisse -x0

Je suis désolée mais je n'y arrive pas.

Merci

[Barbidoux]

Je n'ai pas compris comment vous avez fait pour trouver l'unique solution dans R (question 4 partie I). Pourriez vous me l'expliquer s'il vous plait ?

Merci

[jen717]

Merci beaucoup !