Nombre Complexe

[CoolPaolo]

A ,B et C sont les points d' affixe i , 1+i et 1-i . On considère la fonction f qui à tout point M de plan différent de A , d affixe z associe le point M'du plan d' affixe z' telle que : z' = iz+2/z+i

1.a. Calculer les affixes des images B et C

b. Prouvez que pour tout complexe z , zdifferent de i (z'-i)(z-i)=1

c. D est le point d' affixe 1+2i

Placer les ponts A B C et D sur une figure. Déduisez de la question précédente une construction du point D' image de D par f.

3.a. Prouvez que si l affixe du point M est un imaginaire pur différent de i alors l affixe de M' est un imaginaire pur . Que signifie ce résultat pour l image par f de l axe imaginaire privé de A ?

b. On note H la droite passant par A et de vecteur directeur ū . - c est une flèche .

Précisez l image de la droite H privée de A par f.

Merci de m aider

[Barbidoux]

A ,B et C sont les points d' affixe i , 1+i et 1-i . On considère la fonction f qui à tout point M de plan différent de A , d affixe z associe le point M'du plan d' affixe z' telle que : z' = iz+2/z+i

1.a. Calculer les affixes des images B et C

b. Prouvez que pour tout complexe z , zdifferent de i (z'-i)(z-i)=1

Il me semble q'il y a un problème d'énoncé ....

D'une part il manque des parenthèses z'=(i*z+2)/(z+1) .

Même avec des parenthèses cette expression est incompatible avec la relation i*(z'-i)(z-i)=1. . Il me semble que la bonne expression de z' est : z'=(i*z+2)/(z-1)....

Vérifier l'énoncé...

[CoolPaolo]

Oui z' = (i*z+2)/(z-i)

[Barbidoux]

1a--------------------

z'=(2+z*i)/(z-i)

------------

z_B=1+i

z'_B=(2+(1+i)*i)/(1+i-i)=1+i=z_B

z'_B=(2+(1+i)*i)/(1+i-i)=1+i

------------

z_B=1-i

z'_B=(2+(1-i)*i)/(1-i-i)=(3+i)/(1-2*i)=(3+i)*(1+2*i)/((1-2*i)*(1+2*i)=(3+2*i^2+i+6*i)/5=(1+7*i)/5

1b--------------------

z'=(2+z*i)/(z-i)=(z*i-i^2+1)/(z-i)=i+1/(z-i)==> (z'-i)=1/(z-i) ==> (z'-i)*(z-i)=1

1c--------------------

dans le cas de D la relation (z'-i)*(z-i)=1 conduit à

(z'-i)*(1+2*i-i)=1 ==>(z'-i)*(1+i)=1 ==> (z'-i)*(1+i)*(1-i)=1-i ==> 2*(z'-i)=1-i ==>z'=(1-i)/2+i ce qui donne la manière de construire le point D'

3a--------------------

Si z=k*i avec k 1 alors (z'-i)*(z-i)=1 ==> (z'-i)*(k-1)*i=1 => z'=1/((k-1)*i)-i=

(1-(k-1)*i^2)/((k-1)*i)=k/((k-1)*i)=k*i/(1-k) et z' est un imaginaire pur et 'image de l'axe imaginaire privé de A est l'axe imaginaire privé de A

3b--------------------

Dans ce cas cette droite de vecteur direteur u est parallèle à l'axe des x et l'affixe de M a pour expression z=k+i et M' se condtruit selon (z'-i)*(z-i)=1 ce qui conduit à (z'-i)*(k+i-i)=1 ==> z'=1/k+i et l'image M se trouve sur fa droite H , et l' image de la droite H par f, privée de A, est la droite H privée de A.

[CoolPaolo]

Merci