Dm Ln Et Complexe

[mathiew]

bonjour desolé de m'y prendre si tard mais j'ai besoin d'aide pour

mon dm il y a deux exercice sur les 5 que je n'arrive pas merci d'avance si vous pouvez m'aider

exercice 1

soit f la fonction definie sur ]1;+oo[ par f(x)=lnx - (1)/lnx

on nomme © la coube representative de f et landa la courbe d'equation y=lnx dans un repere orthogonal o i j

1) etudier les variations de la fonction f et preciser les limites en 1 et +oo

2)a)determiner la limite de f(x)-lnx quand x tend ver +oo et interpreter graphiquement cette limite

b) preciser les positions relatives de © et de landa

3) on se propose de chercher les tangentes a la courbe © passant par le point O

a) soit a appartient a ]1;+oo[ demontrer que :

la tangente Ta à © au point d'abcisse a passe par l'origine si, et seulement si

f(a) -af'(a)=0 soit g la fonction definie sur l'intervalle ]1;+oo[ par :

g(x)=f(x)-xf'(x)

b)montrer que sur ]1;+oo[ les equation :

g(x)=0 et (lnx)^3-(lnx)²-lnx-1=0 ont les memes solutions

c) apres avoir etudié les variations de la fonction u definie sur R par :

u(t)=t^3-t²-t-1 demontrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur R

d)en deduire l'existence d'une tangente unique a la courbe © passant par O

Tracer cette tangente de fasson precise sur un graphique

Exercice 2

Le plan complexe est rapporté a un repere orthonormal direct ( O u v ) unité graphique 4 cm

Soit A le point d'affixe a =1

Soit f l'application du plan dans lui meme , qui au point M d'affixe z , distinct de A associe le point

M' = f(M) d'affixe z' = (iz)/(z+1)

1) determiner l'ensemble des points M invariants par f , c'est a dire tels que M=M'

2) demontrer que pour tout point M distinct de A et de O , on a :

OM'=(OM)/AM et (u;OM')=(MA;MO)+pi/2 a 2pi pres

3)a) soit B le point d'affixe b=-1/2 +i placer dans le repere le point B et la mediatrice (delta) du segment [OA]

b)calculer sous forme algebrique l'affixe b' du point B' image du point B par f

etablir que B' appartient au cercle © de centre O de rayon 1

placer le point B' et tracer le cercle © dans le repere

c) en utilisant la question 2 demontrer que si un point M appartient a la mediatrice (delta) son image M' appartien

au cercle ©

d)soi C le point tel que AOC soit equilateral direct , en utilisant les resultats de la question 2, construire

a la regle et au compas , l'image du point C par f ( laisser apparaitre les traist de construction)

4)dans cette question , on se propose de determiner par deux methodes differentes , l'ensemble (landa)

des points M distinct de O et A tels que l'image M' de M appartient a l'axe (Ox)

a) on pose z=x+iy avec (x;y) different de (-1;0) et (x;y)different de (0;0)

demontrer que la partie imaginaire de z' est Im(z')= (x²+y²+x)/((x+1)²+y²)

en deduire la nature des elements caracteristiques de (landa) et le tracer

b) a l'aide de la question 2 retrouver geometriquement la nature de l'ensemble (landa)

[Barbidoux]

exercice 1

soit f la fonction definie sur ]1;+oo[ par f(x)=lnx - (1)/lnx

on nomme C la coube representative de f et lamda la courbe d'equation y=lnx dans un repere orthogonal o i j

1) etudier les variations de la fonction f et preciser les limites en 1 et +oo

f'(x)=1/x+1/(x*ln(x)^2) >0 pour tout x appatrenat à l'intervalle de définition de la fonction

x-> 1⁺ ==> f(x)=0-1/0⁺ -> -∞

x-> ∞ ==> f(x)=∞-1/∞ -> ∞

2)a)determiner la limite de f(x)-lnx quand x tend ver +oo et interpreter graphiquement cette limite

x-> ∞ ==> f(x)-ln(x)=-1/∞ ->0 par valeurs négatives et l'axe des x est asymptote au graphe de f(x) qui tend vers son asymptote par valeurs inférieures

b) preciser les positions relatives de C et de lambda

f(x)-ln(x)=-1/ln(x) <0 pour x>1 et le graphe de f(x) est au dessous de celui de lambda pour x appartenant à ]1, ∞[

3) on se propose de chercher les tangentes a la courbe © passant par le point O

a) soit a appartient a ]1;+oo[ demontrer que :la tangente Ta à C au point d'abcisse a passe par l'origine si, et seulement si f(a) -af'(a)=0

La tangente au graphe de f(x) au point d'abssice a, lorsqu'elle existe, a pour équation y=f'(a)*(x-a)+f(a). En conséquence la tangente Ta à C au point d'abcisse a passe par l'origine {0,0} lorsque -a*f'(a)+f(a)=0

soit g la fonction definie sur l'intervalle ]1;+oo[ par : g(x)=f(x)-xf'(x)

b)montrer que sur ]1;+oo[ les equation : g(x)=0 et (lnx)^3-(lnx)^2-lnx-1=0 ont les memes solutions

g(x)=f(x)-x*f'(x)=ln(x)-1/ln(x)-x*(1/x-1/(x*ln(x)^2))=(ln(x)^3-ln(x)^2-ln(x)-1)/ln(x)^2 et g(x) et g(x)=0 et ln(x)^3-ln(x)^2-ln(x)-1=0 ont même solutions.

c) apres avoir etudié les variations de la fonction u definie sur R par :

u(t)=t^3-t^2-t-1 demontrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur R

u'(t)=3*t^2-2*t-1 poly nôme qui admet deux solutions x=-1/3 et x=1 est du signe du coefficient de t^2 à l'extérieur des racines

t.......................................(-1/3)...................................(1)................................

u'(t)...............(+)................(0).................(-).................(0).................(+)...........

u(t)..............crois...........Max........decrois.............Min........crois...................

Le maximum de u(t) valant -22/27 le minimum -2, la fonction u(t) croissante sur ]-1,∞[ on en déduit que l' graphe de u(t) ne coupe l'axes des t qu'en un seul point sur l'intervalle ]-1,∞[ et donc par analogie qu'il en est de même pour le graphe de g(x) et qu'il n'existe qu'une seule tangenteau graphe C de f(x) passant par {0,0}

d)en deduire l'existence d'une tangente unique a la courbe C passant par O

Tracer cette tangente de façon précise sur un graphique

On trace le graphe de f(x) puis celui de ln(x)^3-ln(x)^2-ln(x)-1 qui coupe l'axe des abscisse en un point tel que la tangente à f(x) en ce point d'abscisse passe par le point correpondant de f(x) et l'origine.

[mathiew]

ok merci beaucoup et pour l'autre vous pouvez m'aider ?