Devoir Terminale S

[nounette19180]

Bonjour, voilà je me suis inscrite au CNED suite à des phobies scolaires, j'ai arrété mon année de Première S au mois de février dernier et je n'ai pas eu les cours de février à juin. Donc cette année en classe de terminale S, je nage un peu en maths. J'aurais besoin d'aide pour un devoir car je ne sais pas comment faire je ne comprend pas.

Voici l'énoncé :

I.On considère la fonction g définie sur R par g(x)=x3 + 3x + 4

x3 = x au cube

1. calculer g'(x), déterminer alors le sens de variations de g.

Pour g'(x) je trouve 3x²+3

2 En déduire le signe de g(x) (on pourra calculer g(-1)).

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = (x3-2)/(x²+1). On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Déterminer lim (quand x tend vers + l'infini) f(x) et lim (quand x tend vers - l'infini) f(x)

2. Calculer f'(x)

3. En déduire que f'(x) et x.g(x) ont le même signe

4. Dresser alors le tableau de variations de f

II.

1. Montrer que pour tout x de R, f(x) = x- ((x+2)/(x²+1). En déduire que la droite D d'équation : y=x est asymptote à C.

2. Préciser les positions relatives de C et D

3. Représenter sur un meme graphique C et D

Voilà, merci d'avance pour votre aide

[Barbidoux]

I.On considère la fonction g définie sur R par g(x)=x^3 + 3x + 4

1. calculer g'(x), déterminer alors le sens de variations de g.

g'(x)=3*x^2+3 >0 qq soit x, g(x) est donc une fonction croissante sur son intervalle de défintion

2 En déduire le signe de g(x) (on pourra calculer g(-1)).

g(-1)=0 ==> -1 est racine de de g(x) qui se met sous la forme de g(x)=(x+1)*(x^2+b*x+4) = (x^3-2)/(x^2+1)=x^3+b x^2+x^2+b x+4 x+4

En identifiant on obtient b=-1 ==> g(x)=(x+1)*(x^2-x+4).

Le polynôme du second degré (x^2-x+4) n'a pas de racines réelles (∆<0) et est du signe du coefficient de x^2.

g(x) n'a donc qu'une seule racine x=-1 ce qui signifie que son graphe qui est celui d'un fonction croisante ne coupe l'axe des x qu'au point d'abscisse -1 et donc g(x)>0 pour x appartenant à ]-1, ∞[ et <0 pour x appartenant à ]-∞, -1[

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=(x^3-2)/(x^2+1). On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1. Déterminer lim (quand x tend vers + l'infini) f(x) et lim (quand x tend vers - l'infini) f(x)

Lorsque x -> ∞ alors 2 << x^3 et 1 << x^2 ==> f(x)≈x^3/x^2 -> ∞

De le même manière

Lorsque x -> -∞ alors f(x)≈x^3/x^2 -> -∞

2. Calculer f'(x)

f'(x)=3*x^2/(1+x^2)-2*x(x^3-2)/(1+x^2)^2=(3*x^2*(1+x^2)-2*x(x^3-2))/(1+x^2)^2=x*(x^3+3*x^2+4)/(1+x^2)^2

3. En déduire que f'(x) et x.g(x) ont le même signe

Le dénominateur de f'(x) est toujpours positif et son numérateur vaut x*g(x) ce sui fait que f'(x) a le même signe que x*g(x)

4. Dresser alors le tableau de variations de f

x..................................(-1)...........................(0)..........................................(∞)

g(x)...............(-)..........(0)............(+)..............................,(+).....................

x....................(-)...........................(-).............(0)...............(+)......................

f'(x)...............(+)...........................(-).............(0)...............(+)......................

f(x)...............(-∞)......crois..........Max......decrois...........Min........crois.....(∞)

II.

1. Montrer que pour tout x de R, f(x) = x- ((x+2)/(x^2+1). En déduire que la droite D d'équation : y=x est asymptote à C.

f(x)=(x^3-2)/(x^2+1)=(x^3+x-x-2)/(x^2+1)=(x*(x^2+1)-(x+2))/(x^2+1)=x-(x+2)/(x^2+1)

2. Préciser les positions relatives de C et D

Lorsque x -> -∞ ou ∞ alors ==> f(x)≈ x et la droite y=x est assyptote graphe de f(x)

f(x)-x =-(x+2))/(x^2+1) donc lorsque x -> -∞ alors f(x)-x =-(x+2))/(x^2+1)≈-1/x -> 0+ et le graph de f(x) ted vers son assyptote par valeurs supérieures, par contre lorsque x -> ∞ alors f(x)-x =-(x+2))/(x^2+1)≈-1/x -> 0- et le graph de f(x) tend vers son assyptote par valeurs inférieures

3. Représenter sur un meme graphique C et D