Dm Maths Terminale Es

[Milieee]

Bonjour tous le monde,

J'ai un DM de maths à rendre pour le 6/01 et je bloque sur quelques questions.

Le 1er exercice:

f est la fonction définie sur ]0; +l'infinie[ par:

f(x) = 2x + 1 + lnx/x

1/ Montrez que la courbe C, représentant f admet une asymptote oblique D au voisinage de +l'infinie.

Alors, j'ai dis que il fallait calculer:

f(x) - (2x+1) = 2x+1 + lnx/x - (2x+1)

= lnx/x

Donc: lim lnx/x (quand x tend vers +l'infinie) = 0.

Donc la courbe Cf admet bien une asymptote oblique d'équation y = 2x+1.

2/ Etudiez le signe de f(x) - (2x+1) sur ]0; +l'infinie[. Déduisez-en, suivant les valeurs de x, la position de C, par rapport à D.

C'est ici que je bloque. Faut-il faire un tableau de signe?

J'attends votre aide. Merci d'avance!

[Barbidoux]

Le 1er exercice:

f est la fonction définie sur ]0; +l'infinie[ par:

f(x) = 2x + 1 + lnx/x

1/ Montrez que la courbe C, représentant f admet une asymptote oblique D au voisinage de +l'infinie.

Alors, j'ai dis que il fallait calculer:

f(x) - (2x+1) = 2x+1 + lnx/x - (2x+1)

= lnx/x

Donc: lim lnx/x (quand x tend vers +l'infinie) = 0.

Donc la courbe Cf admet bien une asymptote oblique d'équation y = 2x+1.

2/ Etudiez le signe de f(x) - (2x+1) sur ]0; +l'infinie[. Déduisez-en, suivant les valeurs de x, la position de C, par rapport à D.

C'est ici que je bloque. Faut-il faire un tableau de signe?

f(x)-(2*x+1)=ln(x)/x >0 pour x>0 =0 pour x= 1 et <0 pour x<1. Le graphe de f(x) est au dessus de son asymptote pour x>1 et en dessous pour x<1

[Milieee]

Merci beaucoup!

2ème exercice:

f est la fonction définie sur ]-l'infinie ; 0[ par:

f(x) = x + ln (1 - 1/x)

1/ Calculer f'(x)

2/ Etudiez le signe de f'(x)

1/ Alors là, j'aurai déjà besoin de savoir de quelle forme est la fonction parce que j'ai un gros doute.

Est-ce: ln (1 - 1/x) est de la forme uv avec:

u(x) = ln v(x) = 1-1/x

u'(x) = 1/x v'(x) = 1/x²

? et donc après on fait: f'(x) = 1 + u'v + v'u ?

Je pense totalement me trompée là :/

[Barbidoux]

f(x)=x+ln(1-1/x)

f'(x)=1+1/(x^2*(1-1/x))=1+1/(x*(x-1))=(x^2-x+1)/(x*(x-1))

x^2-x+1 n'a pas de racine est est du signe du coefficient de x^2 sur sonintervalle de définition dnc >0 et f(x) est une fonction croissante

x->∞ alors 1/x ->0 et ln(1-1/x) ->0 et donc f(x) -> x->∞

x-> -∞ alors f(x) ≈ 1/x ->0 et ln(1-1/x) ->0 et donc f(x) -> x->- ∞

x.............- ∞..........................................0

f'(x)..................................(+)..................

f(x).........- ∞.......................................... ∞

[Milieee]

J'ai vraiment du mal à comprendre comment tu fais pour calculer f'(x)

Tu pourrai m'expliquer ou alors un petit peu plus développer? D'ailleurs, quand tu écris x^2, ça veut bien dire x² n'est-ce pas? De même que * signifie multiplier? Juste pour être sûr.

[Barbidoux]

J'ai vraiment du mal à comprendre comment tu fais pour calculer f'(x)

Tu pourrai m'expliquer ou alors un petit peu plus développer? D'ailleurs, quand tu écris x^2, ça veut bien dire x² n'est-ce pas? De même que * signifie multiplier? Juste pour être sûr.

[Milieee]

D'accord, merci! Je comprends mieux.

De plus, "x->∞" veut bien dire "quand x tend vers l'infini"?

Enfin, dernier exercice:

f est la fonction définie par f(x) = ln (x+2)/(3-x) et C une représentation graphique de f dans un repère.

1/ Prouver que l'ensemble de définition de f est l'intervalle ]-2 ; 3]

2/ Etudiez la limite de g(x) = x+2/3-x, puis celle de f,

a) en -2

b) en 3

3/ Déduisez de la question 2, que C admet deux asymptotes verticales.

4/ Calculer f'(x) et déduisez-en le tableau de variation de f.

5/ a) Calculer l'abscisse du point A, intersection de C avec l'axe des abscisses.

b) Dans le repère, tracez les asymptotes et C

Alors pour le,

1/ Je ne sais pas comment on fait pour prouver un ensemble de définition..

2/ a) Lim de x+2 (quand x tend vers -2) = 0

Lim de 3-x (quand x tend vers -2) = 5

=> Donc par somme, lim de g(x) (quand x tend vers -2) = 5.

Est-ce bon?

Lim de lnx+2 (quand x tend vers -2) = ?

Lim de ln3-x (quand x tend vers -2)

=> Donc par somme, lim de f(x) (quand x tend vers -2) = ?

Je ne sais pas si le "ln" change quelque chose par rapport à celui du dessus.

b) Lim de x+2 (quand x tend vers 3) = 5

Lim de 3-x (quand x tend vers 3) = 0

=> Donc par somme, lim de g(x) (quand x tend vers 3) = 5

Lim de lnx (quand x tend vers 3) = ?

Donc lim de lnx+2 (quand x tend vers 3) = ?

Lim de ln3 (quand x tend vers 3) = ?

Donc lim de ln3-x (quand x tend vers 3 = ?

Même problème que tout à l'heure.

Les autres je bloque totalement étant donné que mes deux premières réponses sont incomplètes..

[Barbidoux]

f est la fonction définie par f(x) = ln (x+2)/(3-x) et C une représentation graphique de f dans un repère.

1/ Prouver que l'ensemble de définition de f est l'intervalle ]-2 ; 3]

On ne prend le ln que d'un nombre >0

x..................................-2......................3........................

(x+2)..................(-).....(0).......(+)....................(+)...........

(3-x)...................(+)................(+)........(0).......(-).............

(x+2)/(3-x).........(-)......(0).......(+).........||........(-)............

L'intervalle de définition est donc ]-2, 3]

2/ Etudiez la limite de g(x) = (x+2)/(3-x), puis celle de f,

Attention aux parenthèses

a) en -2

b) en 3

x-> -2+ ln(x)-> ln(0+/5) - >- ∞ x=-2 est une assymtote verticale

x-> 3 ln(x)-> ln(5/0+) - >∞ x=3 est une assymtote verticale

3/ Déduisez de la question 2, que C admet deux asymptotes verticales.

4/ Calculer f'(x) et déduisez-en le tableau de variation de f.

f'(x)=(3-x)/(x+2)*(1/(3 - x) + (2 + x)/(3 - x)^2)=5/(-x^2+x+6)

-x^2+x+6 ademet deux racines x=-2 et x=3 est est du signe du coefficeint de x^2 à l'extérieur de ses racines ==> fonction croissante sur son intervalle de définition

5/ a) Calculer l'abscisse du point A, intersection de C avec l'axe des abscisses.

f(x)=0 ==> ln(x+2)/(3-x) =0 ==> (x+2)/(3-x) =1 ==> x=1/2

b) Dans le repère, tracez les asymptotes et C

[Milieee]

x-> -2+ ln(x)-> ln(0+/5) - >- ∞ x=-2 est une assymtote verticale

x-> 3 ln(x)-> ln(5/0+) - >∞ x=3 est une assymtote verticale

Est-ce la réponse à mes points d'interrogations du 2? Si c'est le cas, peux-tu écrire les limites comme je l'ai fais? Parce que j'ai vraiment dû mal à comprendre.

De plus, ce que j'ai fais, est-ce bon ou non?

[Barbidoux]

2/ a) Lim de x+2 (quand x tend vers -2⁺) = 0⁺

Lim de 3-x (quand x tend vers -2) = 5

=> Donc par somme, lim de g(x)=(x+2)/(x-5) -> 0⁺/5=0⁺ et ln(0⁺)= -∞

b) Lim de x+2 (quand x tend vers 3) = 5

Lim de 3-x (quand x tend vers 3) =0⁺

=> Donc par somme, lim de g(x)=(x+2)/(x-5) -> 5/0⁺=∞ et ln (∞) = ∞

[Milieee]

D'accord.

Euh, pourrais-tu détailler le 4 s'il te plaît? La forme de la fonction..

Et le calcul du discrimant aussi parce que quand je le fais, je trouve delta = 24. Quelque chose cloche, non?

Parce qu'après, comment tu fais pour calculer les racines:

x1 = -b+racine de 24/ 2*a

x1 = -0+racine de 24/ -2

x1 = ?

pareil pour x2:

x2 = -b - racine de 24/ 2*a

x2 = -0 - racine de 24/ -2

x2 = ?

[Barbidoux]

-x^2+x+6 ∆=25 et les racines sont x=(-1+5)/(-2)=-2 et x=(-1-5)/(-2)=3

[Milieee]

Merci!

Peux-tu m'expliquer comment tu fais plus exactement pour calculer l'abscisse du point A?

Et pour le b), serait-ce possible d'avoir le tableau de valeurs? J'ai essayé de le faire à la calculatrice mais je ne trouve pas les mêmes valeurs :/

[Barbidoux]

4/ Calculer f'(x) et déduisez-en le tableau de variation de f.

f'(x)=(3-x)/(x+2)*(1/(3 - x) + (2 + x)/(3 - x)^2)=5/(-x^2+x+6)

-x^2+x+6 ademet deux racines x=-2 et x=3 est est du signe du coefficeint de x^2 à l'extérieur de ses racines ==> fonction croissante sur son intervalle de définition

----------------------

x...................-2...................................3

(-x^2+x+6).....0...............(+)................(0)

f'(x)...............∞..............(+).................∞

f(x).............. -∞.............crois.............+ ∞

5/ a) Calculer l'abscisse du point A, intersection de C avec l'axe des abscisses.

f(x)=0 ==> ln(x+2)/(3-x) =0 ==> (x+2)/(3-x)=exp(0)=1 ==> x+2=3-x ==> 2*x=1 ==> x=1/2