Fonction Logarithme Népérien

[theoninou]

Bien le bonjour , voici un petit exercice qui me pose souci , avis aux amateurs :

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ) 0 ; +inf ( telle que pour tout réel x de cet intervalle :

f(x) = 5(1-lnx) (lnx-2)

1. Résoudre l'équation f(x) = 0. Les valeurs exactes sont demandées .

J'ai trouvé 5x Carré = 24 mais je suis pas sur du tout de moi .

2. a. Déterminer le signe de l'expression 5(1-x) (x-2) suivant les valeurs du réel X.

En déduire que le signe de f(x) est donné pour tout réel de l'intervalle ) 0 ; +inf ( par le tableau suivant :

x 0 e e carré +inf

signe de f(x) double barre - o + o -

3. a. On note f' la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f'(x) et montrer que f'(x) = 5(3-2lnx) / x pour tout x de l'intervalle ) 0 ; +inf (.

b. En déduire les variations de f . On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint .

4. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en +inf

5. Donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = 1 puis donner une valeur approchée arrondie à 0,01 près de ces solutions .

[pzorba75]

Bien le bonjour , voici un petit exercice qui me pose souci , avis aux amateurs :

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ) 0 ; +inf ( telle que pour tout réel x de cet intervalle :

f(x) = 5(1-lnx) (lnx-2)

1. Résoudre l'équation f(x) = 0. Les valeurs exactes sont demandées .

J'ai trouvé 5x Carré = 24 mais je suis pas sur du tout de moi .

5(1-ln(x))(ln(x)-2)=0

2 solutions, comme tu as écrit f(x) sous forme d'un produit de 2 facteurs :

1.1 1 - ln(x)=0 => ln(e)=ln(x) x=e

1.2 ln(x)-2=0 => ln(x)=2ln(e)=ln(e^2) x=e^2

2. a. Déterminer le signe de l'expression 5(1-x) (x-2) suivant les valeurs du réel X.

En déduire que le signe de f(x) est donné pour tout réel de l'intervalle ) 0 ; +inf ( par le tableau suivant :

x 0 e e carré +inf

signe de f(x) double barre - o + o -

3. a. On note f' la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f'(x) et montrer que f'(x) = 5(3-2lnx) / x pour tout x de l'intervalle ) 0 ; +inf (.

b. En déduire les variations de f . On précisera la valeur exacte du maximum de f et la valeur exacte de x pour laquelle il est atteint .

4. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en +inf

f(x)=5(1-ln(x))(ln(x)-2)

qd x->0 f(x)-> -infty*+infty=-infty

qd x->+infty f(x)->-infty*+infty=-infty

5. Donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = 1 puis donner une valeur approchée arrondie à 0,01 près de ces solutions .