Suites Numériques, Exercice.

[Taiwo]

Bonjour a tous, je suis étudiant en terminale S par correspondance.

Je suis sur un un exercice abordant les suites numériques, voici l'énoncé:

On considère une suite u_n positive et la suite v_n définie par v_n= (u_n) / (1+u_n)

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier dans chaque cas.

1°)Si u_n converge alors v_n converge.

2°)Pour tout n de IN, v_n≤ u_n.

3°)Si u_n décroît alors v_n décroît.

4°)Si v_n converge alors u_n converge.

Voici mes réponses et justifications:

1°)Vraie.

Si u_n converge alors lim_n↦+∞u_n= a, a étant un réel.

lim_n↦∞v_n=lim_n↦∞(u_n)/(1+u_n)=(a)/(a+1).

Ainsi si u_n converge vers un réel a alors v_n converge vers un réel (a)/(a+1)

2°)Vraie.

On a u_n positive.

Pour tout n de IN : u_n≥0, u_n+1≥1, (u_n)/(u_n+1)≤(u_n)/(1)

On a bien v_n≤u_n

3°)Je n'arrive pas à conclure, voici ce que j'ai fait...

si u_n décroit alors u_n+1≤u_n

On a u_n+1+1≤u_n+1 et (1)/(u_n+1+1)≥(1)/(u_n+1)

4°)Vraie.

Si v_n converge alors lim_n↦+∞v_n=a, a étant un réel.

Soit lim_n↦+∞(u_n)/(1+u_n)=a.

Alors lim_n↦+∞u_n=b, b étant un réel.

On a alors a=(b)/(1+b)

Ainsi u_n converge vers a.

Voila, pouvez vous me dire si mes résultats et mes justifications sont bonnes, et si mes démonstrations, explications sont exhaustives. Pouvez vous également me guider pour la proposition 3°) et mes erreurs si il y en a.

Cordialement, Taiwo.

[Barbidoux]

v_n=u_n/(u_n+1)=1-1/(u_n+1)

u_n=v_n/(1-v_n)

1---------Vrai

Si lim u_n-> = a alors ==> lim v_n-> =1-1/(a+1)

2---------Vrai

u_n >0 ==> v_n=u_n/(u_n+1) <u_n

3---------Vrai

u_n >u_n+1 ==> v_n+1-v_n=1-1/(u_n+1+1)-(1-1/(u_n+1)=1/(u_n+1)-1/(u_n+1)<0 ==> v_n+1<v_n

4---------Vrai

Si lim v_n-> = b alors ==> lim u_n-> =v_n/(1-v_n) =b/(1-b)

[Taiwo]

Merci pour les pistes, j'ai pu prouver que la proposition 3 etait vraie (avec les détails de calculs et tout le baratin).

Par contre pour la proposition 4: en effet Si v_nconverge u_n peut converger comme tu l'a prouvé. En revanche si u_n diverge alors lim_n↦+∞u_n=+ou-∞.

Ainsi lim_n↦∞v_n=lim_n↦+∞1-(1/(u_n+1))=+ou-1 donc dans ce cas il me semble que v_n converge alors que u_n diverge.

Du coup j'ai vérifier de meme pour la proposition 1, si v_ndiverge alors sa limite en l'infini est +ou- l'infini. Dans ce cas la limite de u_n ne peut etre que -1 et u_nconverge alors vers -1, mais comme u_n est un réel positif , -1 ne fait peut pas faire partie d'un intrvalle ouvert contenant tout les termes de la suite à partir d'un certein rang. Donc la proposition 1 est bien vraie.

Bref, pour la proposition 4, est ce que je me trompe, ou est elle bien éronée?

Et en fait je trouve que la question est mal posée...car (si je ne me trompe pas ^^') si v_n converge alors u_n peut converger certes mais elle peut aussi diverger... je doit répondre faux dans ce cas? Ou dire qu'elle est vraie? Mais je pense tout de meme que vraie (encore une fois, si mon résonnement est bon) la proposition aurait été "Si u_n converge alors v_n PEUT converger"...........sa m'embrouille tout sa ><.

Si vous pouriez m'éclairer?

Cordialement.

[Barbidoux]

Ce ne sont pas les questions qui se te sont posées.... et l'énoncé me semble clair et sans ambiguïté...

Il t'est demandé

On considère une suite un positive et la suite vn définie par vn= (un) / (1+un)

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier dans chaque cas.

1°)Si un converge alors vn converge. On ne te demande pas ce qui se passe lorsque u_n diverge ou si v_n peut converger lorsque u_n diverge mais simplement si u_n converge ==> v_n converge

2°)Pour tout n de N, vn≤ un.

3°)Si un décroît alors vn décroît.

4°)Si vn converge alors un converge.On ne te demande pas ce qui se passe lorsque v_n diverge ou si u_n peut converger lorsque v_n diverge mais simplement si v_n converge ==> u_n converge

[Taiwo]

Ce ne sont pas les questions qui se te sont posées.... et l'énoncé me semble clair et sans ambiguïté...

Il t'est demandé

On considère une suite un positive et la suite vn définie par vn= (un) / (1+un)

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier dans chaque cas.

1°)Si un converge alors vn converge. On ne te demande pas ce qui se passe lorsque u_n diverge ou si v_n peut converger lorsque u_n diverge mais simplement si u_n converge ==> v_n converge

2°)Pour tout n de N, vn≤ un.

3°)Si un décroît alors vn décroît.

4°)Si vn converge alors un converge.On ne te demande pas ce qui se passe lorsque v_n diverge ou si u_n peut converger lorsque v_n diverge mais simplement si v_n converge ==> u_n converge

[Barbidoux]

Pour la 4 exact j'aurais du préciser b 1 et il vaut mieux le préciser, mais cela est implicite car par définition v_n= u_n/( u_n+1) forcément 1 si u_n

[Taiwo]

Bien le bonjour. J'ai finalement bouclé cet exo .

J'ai cependant un petit probleme avec un autre exo sur les suites...

On a (un) avec n appartenant à IN*

et un=1/(1²+1)+1/(2²+1)+...+1/(n²+1)=_k=1∑ⁿ 1/(k²+1) . Je l'ai noté comme je pouvai...

Mon problème est que je ne comprend pas la notation _k=1∑ⁿ 1/(k²+1) , je ne l'ai jamais comprise...sa m'énerve et si vous pouriez m'aider a enfin la déchifrer sa serai génial.

De plus j'ai toujours eu du mal avec ce type de suite ou l'on a des somme a la suite comme ici.

On nous demande de calculer u1 u2 et u3.

j'ai trouvé

u1=1/2

u2=7/10

u3=8/10

Je doute de mes résultats.

Tout cela me bloque pour la suite des questions.

Cordialement.

[Barbidoux]

Bien le bonjour. J'ai finalement bouclé cet exo .

J'ai cependant un petit probleme avec un autre exo sur les suites...

On a (un) avec n appartenant à IN*

et un=1/(1²+1)+1/(2²+1)+...+1/(n²+1)=_k=1∑ⁿ 1/(k²+1) . Je l'ai noté comme je pouvai...

Mon problème est que je ne comprend pas la notation _k=1∑ⁿ 1/(k²+1)

C'est simple et il ne faut pas t'en faire une montagne, cela veut dire que u_n est la somme somme de k=1 à n des termes 1/(k^2+1)

Donc :

u₁=1/(1^2+1)

u₂=1/(1^2+1)+1/(2^2+1)

u₃=1/(1^2+1)+1/(2^2+1)+1/(3^2+1)

u₄=1/(1^2+1)+1/(2^2+1)+1/(3^2+1)+1/(4^2+1)

etc....

, je ne l'ai jamais comprise...sa m'énerve et si vous pouriez m'aider a enfin la déchifrer sa serai génial.

De plus j'ai toujours eu du mal avec ce type de suite ou l'on a des somme a la suite comme ici.

On nous demande de calculer u1 u2 et u3.

j'ai trouvéJe me permets amicalement de corriger ton vocabulaire... on "trouve" pas le résultat d'une expression on la calcule ou on l'obtient.

u1=1/2

u2=7/10

u3=8/10

Je doute de mes résultats. ai un peu confiance en toi c'est exact...

Tout cela me bloque pour la suite des questions.

Cordialement.

[Taiwo]

Bien le bonjour. J'ai finalement bouclé cet exo .

J'ai cependant un petit probleme avec un autre exo sur les suites...

On a (un) avec n appartenant à IN*

et un=1/(1²+1)+1/(2²+1)+...+1/(n²+1)=_k=1∑ⁿ 1/(k²+1) . Je l'ai noté comme je pouvai...

Mon problème est que je ne comprend pas la notation _k=1∑ⁿ 1/(k²+1)

C'est simple et il ne faut pas t'en faire une montagne, cela veut dire que u_n est la somme somme de k=1 à n des termes 1/(k^2+1)

Donc :

u₁=1/(1^2+1)

u₂=1/(1^2+1)+1/(2^2+1)

u₃=1/(1^2+1)+1/(2^2+1)+1/(3^2+1)

u₄=1/(1^2+1)+1/(2^2+1)+1/(3^2+1)+1/(4^2+1)

etc....

, je ne l'ai jamais comprise...sa m'énerve et si vous pouriez m'aider a enfin la déchifrer sa serai génial.

De plus j'ai toujours eu du mal avec ce type de suite ou l'on a des somme a la suite comme ici.

On nous demande de calculer u1 u2 et u3.

j'ai trouvéJe me permets amicalement de corriger ton vocabulaire... on "trouve" pas le résultat d'une expression on la calcule ou on l'obtient.

u1=1/2

u2=7/10

u3=8/10

Je doute de mes résultats. ai un peu confiance en toi c'est exact...

Tout cela me bloque pour la suite des questions.

Cordialement.

[Barbidoux]

J'arrive a la fin de l'exo et on me demande déterminer une valeur de n tel que un soit une valeur approchée de "a" à 10^-1 près.

J'ai démontré précedement que un et vn convergent vers une meme limite,"a" est cette limite.

je ne pense pas que vn soit utile mais au cas ou, vn=un+1/n.

Je ne vois vraiment pas comment engager cette question...pouvez vous me donner une piste?

[Taiwo]

J'arrive a la fin de l'exo et on me demande déterminer une valeur de n tel que un soit une valeur approchée de "a" à 10^-1 près.

J'ai démontré précedement que un et vn convergent vers une meme limite,"a" est cette limite.

je ne pense pas que vn soit utile mais au cas ou, vn=un+1/n.

Je ne vois vraiment pas comment engager cette question...pouvez vous me donner une piste?

[Barbidoux]

Soient un et vn avec n appartenant à IN*.

un=1/(1²+1)+1/(2²+1)+...+1/(n²+1)=_k=1∑ⁿ 1/(k²+1)

vn=un+1/n

1°)Calculer u1, u2, u3, v1, v2, v3

2°)Montrer que un est croissante

3°)Montrer que vn est décroissante

4°)En déduire que les suites un et vn convergent vers une même limite. On note b cette limite.

5°)Déterminer une valeur de n tel que un soit une valeur approchée de b à 10^-1 près.

Tu sais que u_n est croissante et v_n décroissante et que ces deux suites tendent vers la même limite soit u_n b v_n. D onc si tu veux être sur d'obtenir une valeur de b avec un incertitude < à 10^(-2) il faut que v_n-u_n=1/n < 10^(-2) soit n >100 et la valeur estimée de b à 10^(-2) près vaudra b=(v₁₀₀+u₁₀₀)/2

6°)Donner une valeur approchée de b à 10^-1 près (on expliquera la méthode utilisée, on précisera l'outil éventuellement utilisé.)

Pour ce calcul on utilise un tableur et et la valeur estimée de b à 10^(-1) près vaut b=(v₁₀+u₁₀)/2