Les Nombres Complexes

[Étienne9]

Bonjour à vous,

J'ai un devoir à faire pour Lundi alors je commence...

Tout d'abord je dois résoudre z²-z+1 = 0 sauf que j'ai un soucis, j'ai utilisé deux méthodes mais les deux me conduisent à la même chose : Pas de solution !

- Première méthode : on calcule le discriminant et on trouve qu'il est négatif....

- Deuxième méthode plus longue : on remplace z par a+bi et on trouve cela :

(a²-a-b²) + (2ab-b)i = -1

Donc cela équivaut à deux égalités :

a²-a-b² = -1

Et 2ab-b = 0 car il n'y a pas de partie imaginaire.

À partir de là, j'ai fait :

a²-a-b² = -1

b(2a-1) = 0

Ensuite :

Si b = 0 alors :

a²-a=-1

a²-a+1 = 0

Discriminant et pan encore négatif !

Si 2a-1=0

2a=1

a = 1/2

(1/2)² - 1/2 - b² = -1

Et en continuant on trouve b = rac(-3/4) donc aucune solution...

Moi je trouve ça bizarre mais j'ai peut-être bon !

Merci à vous !

Ensuite je dois résoudre z²-4z+1= 0, puis-je calculer le discriminant directement où dois-je remplacer z par a+bi ?

[Barbidoux]

z^2-z+1=0 ==> ∆=-3 =3*i^2==> 2 solutions complexes z=(1+i*√3)/2 et z=(1-i*√3)/2

z^2-4*z+1=0 ==> ∆=16-4=12==> 2 solutions réelles z= (4+2√3)/2=2+√3 et z=2-√3

[Étienne9]

Merci beaucoup ! Je n'avais pas pensé à ça en fait...

Ensuite j'ai une équation qui est composé des deux équations en fait, et je dois résoudre l'équation mais dans un premier temps je dois prouver que 0 n'est pas solution.

Quand on me dit de prouver que 0 n'est pas solution, ils parlent de z=0 ou de a = 0 et b = 0 ? (remarquez c'est pareil....)

Donc je remplace z par 0 ??

[Barbidoux]

Merci beaucoup ! Je n'avais pas pensé à ça en fait...

Ensuite j'ai une équation qui est composé des deux équations en fait, et je dois résoudre l'équation mais dans un premier temps je dois prouver que 0 n'est pas solution.

Quand on me dit de prouver que 0 n'est pas solution, ils parlent de z=0 ou de a = 0 et b = 0 ? (remarquez c'est pareil....)

Donc je remplace z par 0 ??

[Étienne9]

Comment prouvé que deux équations avec des Z ont même solution ?

[Barbidoux]

Comment prouvé que deux équations avec des Z ont même solution ?

[Étienne9]

En fait j'ai (E) z^4-5z^3+6z^2-5z+1=0

Je dois démontrer que 0 n'est pas une solution donc je pense qu'il faut que je remplace z par 0 et on trouve 1 = 0 donc 0 n'est pas une solution.

Et ensuite j'ai (E') z^2+(1/z^2)-5(z+(1/z))+6 = 0

Et je dois démontrer que (E) et (E') ont les mêmes solutions. Dois-je calculer la partie réelle et la partie imaginaire des deux et comparer ?

[Barbidoux]

En fait j'ai (E) z^4-5z^3+6z^2-5z+1=0

Je dois démontrer que 0 n'est pas une solution donc je pense qu'il faut que je remplace z par 0 et on trouve 1 = 0 donc 0 n'est pas une solution.

Et ensuite j'ai (E') z^2+(1/z^2)-5(z+(1/z))+6 = 0

Et je dois démontrer que (E) et (E') ont les mêmes solutions. Dois-je calculer la partie réelle et la partie imaginaire des deux et comparer ?

[Étienne9]

Merci beaucoup mais là je suis bloqué.

On pose u = z + (1/z)

Je dois calculer z² + (1/z²) en fonction de u...

J'ai essayé de faire plein de trucs notamment mettre sous le même dénominateur... Ou encore faire intervenir 1 dans l'une et remplacer mais rien !

Que faire ?

Merci beaucoup !

[Barbidoux]

Merci beaucoup mais là je suis bloqué.

On pose u = z + (1/z) =(z^2+1)/z

Je dois calculer z² + (1/z²) =(z^4+1)/z^2=(z^2+1)^2/z^2-2= u^2-2 en fonction de u...

J'ai essayé de faire plein de trucs notamment mettre sous le même dénominateur... Ou encore faire intervenir 1 dans l'une et remplacer mais rien !

Que faire ?

Merci beaucoup !

[Étienne9]

Merci en fait j'ai fait autrement, j'ai calculé u² et j'ai remarqué qu'il y avait juste un 2 en trop, donc u²-2.

J'ai encore besoin de vous,

Ça c'est mon sujet, http://yfrog.com/f/5udscn2288oj/ les points d'interrogation c'est là où ça bloque.

Les deux vagues c'est là où j'ai les résultats mais que je sais pas si j'ai bon !

Pour le 2)d) j'ai essayé de remplacer u par son équivalence mais rien à faire, je n'arrive pas à tomber sur 0 et je tombe sur E'...

Donc forcément la e) je ne peux pas faire.

Dans l'exercice 2, 1) je trouve -1/2 pour la partie réelle et même chose pour la partie imaginaire.

Pour le 2) je trouve pour la partie réelle :

-3x²-6x-3y²

________

9x²+9y²

Et enfin pour la partie imaginaire :

6y

______

9x²+9y²

Merci d'avance !

[Barbidoux]

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Exo 1

1----------------------

z^2-z+1=0 ==> ∆=-3=3*i^2 ==> deux racines complexes x=(1+i*√3)/2 et x=(1-i*√3)/2

z^2-4*z+1=0 ==> ∆=16-4=12 ==> deux racines réelles x=(4+2√3)/2=2+√3 et x=2-√3

2a----------------------

E(0)=1 donc 0 n'est pas solution de E

2b----------------------

E'(z)=z^2+1/z^2-5*(z/1/z)+6=0

z 0 ==> Z^2*E'=E donc E' et E on même solutions.

2c----------------------

u = z + (1/z) =(z^2+1)/z

z^2 + (1/z^2) =(z^4+1)/z^2=(z^2+1)^2/z^2-2= u^2-2

2d/e----------------------

E'(z)=z^2+1/z^2-5*(z/1/z)+6=u^2-2-5*u+6=u^2-5*u+4=0

Les solutions de ce polynôme sont u=1et u=4

u=1 ==> z + (1/z)=1 et comme z 0 ==> z^2+1=z ==> z^2-z+1=0

u=4 ==> z + (1/z)=4 et comme z 0 ==> z^2+1=4*z ==> z^2-4z+1=0

et les solution de E sont donc les solutions de z^2-z+1=0 et z^2-4z+1=0 obtenues en 1

Remarque : c'était évident car ( z^2-z+1)*(z^2-4z+1)=z^2+1/z^2-5*(z/1/z)+6

----------------------

Exo 2

1----------------------

f(z)=(2+z)/(z-3)=(z-3+5)/(z-3)=1+5/(z-3)

on pose z=x+i*y

f(z)=1+5/(x-3+i*y)

f(z)=1+5*((x-3-i*y))/((x-3+i*y)*((x-3-i*y))=1+5*(x-3-i*y)/((x-3)^2+y^2)

Pour que f(z) soit réel il faut et il suffit que y=0 et le lieu de z est l'axe des x

Pour que f(z) soit immaginaire il faut et il suffit que 1+5*(x-3)/((x-3)^2+y^2) =0 or z 3 ==> (x-3)^2+y^2 <>0 ==> (x-3)^2+y^2+5*(x-3)=0 ==> x^2-6*x+9+y^2+5*x-15=0 ==>x^2-x-6+y^2=0 ==> (x-1)+y^2=7 ce qui est l'équation d'un cercle de centre {1,0} et de rayon √7.

[Étienne9]

Merci beaucoup.

[Étienne9]

Pour la construction des points vous pouvez me faire un brouillon s'il vous plaît ?

Je dois placer quels points ?

[Barbidoux]

Petite erreur de calcul à la fin ...

Pour que f(z) soit immaginaire il faut et il suffit que 1+5*(x-3)/((x-3)^2+y^2) =0 or z 3 ==> (x-3)^2+y^2 <>0 ==> (x-3)^2+y^2+5*(x-3)=0 ==> x^2-6*x+9+y^2+5*x-15=0 ==>x^2-x-6+y^2=0 ==> (x-1/2)+y^2=25/4 ce qui est l'équation d'un cercle de centre {1/2,0} et de rayon 5/2. Il faut enlever à ce cercle deux points le point correspondant à z=3 et celui correspondant à z=-2 pour lequel la partie imaginaire et réelle de z sont nulles.

[Étienne9]

Merci beaucoup.

Petite question, pour calculer f(i) je remplace tous les z par i ?

[Barbidoux]

Merci beaucoup.

Petite question, pour calculer f(i) je remplace tous les z par i ?

[Étienne9]

Et je trouve -1/2 - 1/2*i ?

[Barbidoux]

Et je trouve -1/2 - 1/2*i ?

[Étienne9]

Ce n'est pas pour montrer quelque chose, c'est la question 1 de l'exercice 2 !!

[Barbidoux]

Ce n'est pas pour montrer quelque chose, c'est la question 1 de l'exercice 2 !!

[Étienne9]

Excusez-moi, pour trouver dans l'exercice 2, question 2 la partie imaginaire et la partie réelle ce n'est pas fini...

f(z)=1+5*((x-3-i*y))/((x-3+i*y)*((x-3-i*y))=1+5*(x-3-i*y)/((x-3)^2+y^2)

Il faut encore décomposer non ?

Vous pouvez faire ça s'il vous plaît ?

[Étienne9]

Désolé pour le double message.

Normalement je dois trouver ça non :

http://yfrog.com/gvpicture112yj

????

[Barbidoux]

Excusez-moi, pour trouver dans l'exercice 2, question 2 la partie imaginaire et la partie réelle ce n'est pas fini...

f(z)=1+5*((x-3-i*y))/((x-3+i*y)*((x-3-i*y))=1+5*(x-3-i*y)/((x-3)^2+y^2)=1+5*(x-3)/((x-3)^2+y^2)-i*5*y/((x-3)^2+y^2)

Il faut encore décomposer non ?

Vous pouvez faire ça s'il vous plaît ?

[Étienne9]

J'ai trouvé presque pareil que que pour la partie imaginaire j'ai mis -5y au nominateur et le 5(x-3) je l'ai développé...