Devoir Sur Les Fonctions (Généralités)

[quintrix]

Bonsoir, j'ai un devoir de mathématiques à rendre et j'aimerais de l'aide pour certaines questions et aussi savoir si mes autres réponses sont justes

Voici le sujet :

Le but du problème est de compare les deux nombres suivants :

A = 1.0000002/1.0000004 et B = 0.9999996/ 0.9999998

1. Soient f et g les fonctions définies par : f(x) = (1+2x)/(1+4x) et g(x) = (1-4x)/(1-2x)

• Quels sont les ensembles de définition Df et Dg des fonctions f et g ?
• Que vaut f(10^-7) ? Que vaut g(1-^-7) ?

1. Pour comparer les nombres A et B on va comparer les fonctions f et g en étudiant la différence f(x)-g(x).

• Démontrer que : f(x)-g(x) = 12x²/(1+4x)(1-2x)
• Résoudre l'inéquation : f(x)-g(x)>0
• En déduire le signe de f(10^-7)-g(10^-7)
• Conclure

[Barbidoux]

Soient f et g les fonctions définies par : f(x) = (1+2x)/(1+4x) et g(x) = (1-4x)/(1-2x)

Quels sont les ensembles de définition Df et Dg des fonctions f et g ?

R\{-1/4} est l'ensemble de définition de f(x) et R\{1/2} celui de g(x)

Que vaut f(10^-7) ? Que vaut g(10^-7) ?

f(x) = (1+2*10^-7)/(1+4*10^-7) et g(x) = (1-4*10^-7)/(1-2*10^-7)

Pour comparer les nombres A et B on va comparer les fonctions f et g en étudiant la différence f(x)-g(x).

Démontrer que : f(x)-g(x) = 12x²/(1+4x)(1-2x)

f(x) -g(x)= (1+2x)/(1+4x) -(1-4x)/(1-2x)=(1+2x)*(1+2*x)-(1+4*x) *(1-4x)/((1-2x)*(1+4*x))=(1-4*x^2-1-16*x^2)/((1-2x)*(1+4*x))=12*x^2/((1-2x)*(1+4*x))

Résoudre l'inéquation : f(x)-g(x)>0

x.......................................(-1/4)................0....................(1/2)..................

(1-2x)...................(+)....................(+)..................(+).........(0)......(-).........

(1+4*x)................(-)..........(0)......(+)..................(+)....................(+)...........

f(x)-g(x)................(-)...........||........(+).......(0)......(+)..........||........(-)...........

En déduire le signe de f(10^-7)-g(10^-7)

f(10^-7)-g(10^-7)>0

[quintrix]

Encore merci à vous Barbidoux pour m'avoir aidé cette fois aussi. Je vois que pour cette fois je me suis pas si mal débrouillé.

Je met le sujet en résolu (si c'est possible).

[quintrix]

J'aurais besoin d'aide aussi pour une autre question :

f : x --> (x*|x|) / (|x|+1)

Résoudre dans R l'équation f(x)=1

Df est donc égal à l'ensemble R et la fonction est impaire puisque f(-x)=-f(x).

Je pose donc (x*|x|) / (|x|+1) = 1

J'ai pensé à faire 2x/(x+1) mais dans ce cas les valeurs absolues sont ignorées...

En plus ça n'a presque pas de rapport avec les questions précédentes alors que, connaissant le prof, il doit sûrement y avoir un !

[Barbidoux]

f : x --> (x*|x|) / (|x|+1)

Résoudre dans R l'équation f(x)=1

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x>0 ==> f(x)=x^2/(x+1)=1 ==> x^2-x-1=0 ce polynôme admet deux racines x=(1-√5)/2 et x=(1+√5)/2, seule cette dernière convient car par définition x>0

x<0 ==> f(x)=-x^2/(-x+1)=1 ==> -x^2+x-1=0 ce polynôme n'admet pas de racines réelles.

Conclusion : il qu'une seule solution de f(x)=1 c'est x=(1+√5)/2

[quintrix]

Encore et encore merci ! Dès que j'ai vu les "x>0" et "x<0" j'ai essayé de faire la suite tout seul et j'ai eu bon du premier coup

Bonne soirée !