Polynome

[menaoui]

bonjour j'ai deux questions d'un exo dont je bloque

1) déterminer la multiplicité de i comme racine de P=X^4+(1-2i)X^3-(3+2i)X²+(4i-1)X+2

2) Déterminer la racine réelle double de 4X^3-4iX²-3X+4iX+1-i

merci et surtout, expliquez moi merci

[Barbidoux]

bonjour j'ai deux questions d'un exo dont je bloque

1) déterminer la multiplicité de i comme racine de P=X^4+(1-2i)X^3-(3+2i)X²+(4i-1)X+2

[On développe P(x)=x^4+x^3-3*x^2-x+2+i* (-2*x^3-2*x^2+4*x)

P(x) est un polynome du 4ème ordre

La multiplicité ne peut pas être d'ordre 4 (dans ce cas la partie réelle de P((x) vaudrait 1)

La multiplicité ne peut pas être d'ordre 1 ou 3 (dans ce cas la partie réelle de P((x) ne comporterait pas de terme constant)

La multiplicité de P((x) si elle existe est forcément d'ordre 2. Dans P(x) se met sous la forme.P(x)=(x-i)^2*g(x) ==> P(x)=(x^2-1-2*i*x)*g(x) ==> g(x)=-x^2-x+2. Ce polynôme admettant deux racines x=-2 et x=1 il s'en suit que P(x)=(x-i)^2*(x+2)*(x-1)

2) Déterminer la racine réelle double de 4X^3-4iX²-3X+4iX+1-i

[le plynôme h(x)=4*x^3-4*i*x^2-3*x+1-i admettant une racine double il s'écrit h(x)=(a*x+b+c*i)*(x-d)^2 ==> il est évident que c=-4 et d est donc solution de x^2-1/4=0 ==> d=1/2 est la racine double de ce polynôme. On peut ensuite déterminer la valeur de a qui vaut évidement 4 puis celle b par identification qui vaut 4 ==> h(x)=(4*x+4-4*i)*(x-1/2)^2.

A vérifier...

[menaoui]

merci pour cette réponse, et là je bloque sur cette factorisation dans C et R pour X^6+1, je crois qu'il faut utiliser les formes exponentielles mais je vois pas trop comment faire

[Barbidoux]

x^6+1=0 ==> x^6+exp(2*i*k*Pi)=0 ==> x^6=-1*exp(2*i*k*Pi)=exp(i*Pi)*exp(2*i*k*Pi)

==> x=exp(i*Pi/6)*exp(2*i*k*Pi/6)

==> x={i,exp(5*i*Pi/6), -exp(i*Pi/6), -i,exp(-i*Pi/6),-i, exp(-i*Pi/6),exp(i*Pi/6))}

==> x={i, (i/2 - √3/2), (-i/2 - √3/2), -i, (-i/2 + √3/2), (i/2 + √/2)}