Exo De Math

[mathiew]

bonjour j'ai quelque exercices avant le ds et je n'y arrive pas pouvez vous m'aider

I) Atout point M d'affixe z=x+iy , z différent de -3+2i de z , x et y réels , on note A le point d'abcisse -3+2i

on associe le point M' d'affixe z' définie par z'=(z-1+i)/(z+3-2i)

1)Exprimer la partie réelle X et la partie réelle Y de z' en fonction de x et y

(on montrera que X=(x²+y²+2x-y-5)/((x+3)²+(y-2)²))

2) determiner et tracer l'ensemble des points M d'affixe z, z different de -3+2i , tel que M' appartien a Ox

3) determiner et tracer l'ensemble des points M d'affixe z , z different de -3+2i , tel que M' appartien a Oy

II)Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O;u;v) , unité 4 cm

M est un point d'affixe z non nul , M' est le point d'affixe z' telle que z'=-1/zbarre

Partie A :

1) soit z appartien a C , determiner une relation entre les modules de z et z' , puis une relation entre les argument de z et z'

2)demontrer que les points O,M et M' sont alignés

3) demontrer que pour tout nombre complexe z non nul , on a l'egalité : (z+1)barre =(1/z)*(z-1)

Partie B :

on designe par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1

on note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe verifie :module de z-1 =1

1) quelle est la nature de l'ensemble C ?

2) a) soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O

demontrer que module de z'+1 = module de z' , interpreter geometriquement cette egalité

b) est il vrai que reciproquement , si z' verifie l'egalité module de z'+1=module de z' , alors z verifie l'égalité module de z-1=module de z'

3)Tracer l'ensemble C sur une figure . si M est un point de C , decrire et realiser la construction de M'

merci d'avance de votre aide

[Barbidoux]

I) Atout point M d'affixe z=x+iy , z différent de -3+2i de z , x et y réels , on note A le point d'abcisse -3+2i

on associe le point M' d'affixe z' définie par z'=(z-1+i)/(z+3-2i)

1)Exprimer la partie réelle X et la partie réelle Y de z' en fonction de x et y

(on montrera que X=(x²+y²+2x-y-5)/((x+3)²+(y-2)²))

---------------

on pose z=x+i*y

z'=(x+i*y-1+i)/(x+i*y+3-2*i)

z'=((x-1)+i*(y+1))*((x+3)-I*(y-2)) /((x+3)^2+(y-2)^2)

z'=(x^2+2 x+y^2- y-5+i*(3*x+4*y+1))/((x+3)^2+(y+2)^2)

2) determiner et tracer l'ensemble des points M d'affixe z, z different de -3+2i , tel que M' appartien a Ox

Si M' appartient à Ox alors Im(Z')=0 ==>3*x+4*y+1=0 ==> droite d'équation y=-(3*x+1)/4

3) determiner et tracer l'ensemble des points M d'affixe z , z different de -3+2i , tel que M' appartien a Oy

Si M' appartient à Oy alors Re(Z')=0 ==>x^2+2 x+y^2- y-5=0 ==> (x+1)^2+(y-1/2)^2-25/4=0 ==> (x+1)^2+(y-1/2)^2=25/4 cercle de centre{-1,1/2} et de rayon 5/2

[mathiew]

I) Atout point M d'affixe z=x+iy , z différent de -3+2i de z , x et y réels , on note A le point d'abcisse -3+2i

on associe le point M' d'affixe z' définie par z'=(z-1+i)/(z+3-2i)

1)Exprimer la partie réelle X et la partie réelle Y de z' en fonction de x et y

(on montrera que X=(x²+y²+2x-y-5)/((x+3)²+(y-2)²))

---------------

on pose z=x+i*y

z'=(x+i*y-1+i)/(x+i*y+3-2*i)

z'=((x-1)+i*(y+1))*((x+3)-I*(y-2)) /((x+3)^2+(y-2)^2)

z'=(x^2+2 x+y^2- y-5+i*(3*x+4*y+1))/((x+3)^2+(y+2)^2)

2) determiner et tracer l'ensemble des points M d'affixe z, z different de -3+2i , tel que M' appartien a Ox

Si M' appartient à Ox alors Im(Z')=0 ==>3*x+4*y+1=0 ==> droite d'équation y=-(3*x+1)/4

3) determiner et tracer l'ensemble des points M d'affixe z , z different de -3+2i , tel que M' appartien a Oy

Si M' appartient à Oy alors Re(Z')=0 ==>x^2+2 x+y^2- y-5=0 ==> (x+1)^2+(y-1/2)^2-25/4=0 ==> (x+1)^2+(y-1/2)^2=25/4 cercle de centre{-1,1/2} et de rayon 5/2

[Barbidoux]

okay j'y était pas loin en faite ^^

je vais m'éssayer au dernier exercice si vous pouvait me donner une correction je reviendrais une fois que j'airais fini ^^ merci d'avance

[mathiew]

okay j'y était pas loin en faite ^^

je vais m'éssayer au dernier exercice si vous pouvait me donner une correction je reviendrais une fois que j'airais fini ^^ merci d'avance

[Barbidoux]

3) demontrer que pour tout nombre complexe z non nul , on a l'egalité : (z'+1)barre =(1/z)*(z-1)

si z'=-1/zb alors z'=-z/(zb*z) ==> z'b=-zb/(zb*z) ==> z'b=-1/z ==> z'b+1=1-1/z=(1/z)*(z-1)

-------------------------

Partie B :

on designe par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1

on note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe verifie :module de z-1 =1

1) quelle est la nature de l'ensemble C ?

|z-1|=1 ==> √((x+1)^2+y )=1 ==> (x+1)^2+y^2=1. Le lieu de C est le cercle de centre {-1,0} et de rayon r=1==>

2) a) soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O

demontrer que module de z'+1 = module de z' , interpreter geometriquement cette egalité

|z'+1|=|z' | ??? Là encore cette relation m'étonne (à vérifier... la place des apostrophes z ou z' ???)

[mathiew]

3) demontrer que pour tout nombre complexe z non nul , on a l'egalité : (z'+1)barre =(1/z)*(z-1)

si z'=-1/zb alors z'=-z/(zb*z) ==> z'b=-zb/(zb*z) ==> z'b=-1/z ==> z'b+1=1-1/z=(1/z)*(z-1)

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Partie B :

on designe par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1

on note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe verifie :module de z-1 =1

1) quelle est la nature de l'ensemble C ?

|z-1|=1 ==> √((x+1)^2+y )=1 ==> (x+1)^2+y^2=1. Le lieu de C est le cercle de centre {-1,0} et de rayon r=1==>

2) a) soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O

demontrer que module de z'+1 = module de z' , interpreter geometriquement cette egalité

|z'+1|=|z' | ??? Là encore cette relation m'étonne (à vérifier... la place des apostrophes z ou z' ???)

[Barbidoux]

OK Confusion de ma part entre z-1 et z+1, je rectifie

Partie B :

on designe par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1

on note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe verifie :module de z-1 =1

1) quelle est la nature de l'ensemble C ?

|z-1|=1 ==> √((x-1)^2+y^2)=1 ==> (x-1)^2+y^2=1. Le lieu de C est le cercle de centre {1,0} et de rayon r=1==>

2) a) soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O

demontrer que module de z'+1 = module de z' , interpreter geometriquement cette egalité

z'+1=1-1/zb ==> (zb-1)/zb et comme |z-1|=|zb-1| d'une part et que |z' |=1/|zb| ==> | (zb-1)/zb |= |zb-1l/lzb]=1/|zb| =lz' |

b) est il vrai que reciproquement , si z' verifie l'egalité module de z'+1=module de z' , alors z verifie l'égalité module de z-1=module de z'

|z'+1|=|1-1/zb|=|(zb-1)/zb|=|(zb-1)|/|zb|=|z-1|/|zb| et comme d'une part |z-1|=1 et |z' |=1/|zb| ==> |z-1|=|z' |

3)Tracer l'ensemble C sur une figure . si M est un point de C , decrire et realiser la construction de M'

Figure à venir...

[mathiew]

OK Confusion de ma part entre z-1 et z+1, je rectifie

Partie B :

on designe par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1

on note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe verifie :module de z-1 =1

1) quelle est la nature de l'ensemble C ?

|z-1|=1 ==> √((x-1)^2+y^2)=1 ==> (x-1)^2+y^2=1. Le lieu de C est le cercle de centre {1,0} et de rayon r=1==>

2) a) soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O

demontrer que module de z'+1 = module de z' , interpreter geometriquement cette egalité

z'+1=1-1/zb ==> (zb-1)/zb et comme |z-1|=|zb-1| d'une part et que |z' |=1/|zb| ==> | (zb-1)/zb |= |zb-1l/lzb]=1/|zb| =lz' |

b) est il vrai que reciproquement , si z' verifie l'egalité module de z'+1=module de z' , alors z verifie l'égalité module de z-1=module de z'

|z'+1|=|1-1/zb|=|(zb-1)/zb|=|(zb-1)|/|zb|=|z-1|/|zb| et comme d'une part |z-1|=1 et |z' |=1/|zb| ==> |z-1|=|z' |

3)Tracer l'ensemble C sur une figure . si M est un point de C , decrire et realiser la construction de M'

Figure à venir...

[Barbidoux]

Voilà la figure manquante...

[mathiew]

Voilà la figure manquante...

[Barbidoux]

Voilà ce qu'il est possible de dire :

Le lieu de |z-1|=1 qui s'établit analytiquement en écrivant que z=x+i*y puis en exprimant |z-1| =√(x-1)^2+y2) est le cercle de centre {1,0} et de rayon r=1 qui est tracé en rouge sur la figure. Il est facile de voir qu'à tout point M d'affixe z le vecteur d'affixe z-1 correspond un point M1 appartenant au cercle de centre {0,0} et de rayon r=1 ce qui démontre géométriquement l'égalité |z-1|=1.

Le point M' d'affixe z' est construit en considérant dans un premier temps le vecteur OM d'affixe z par symétrie d'axe ox dont l'affixe correspond à zb puis en construisant le vecteur OM' daffixe z' tel que z'*zb=-1. Le lieu de M' est la droite d'équation x=-1/2.

Pour tout point M' d'affixe z' de cette droite on peut construire le point M'1 d'affixe z'+1 qui se trouve alors sur la droite d'équation x=1/2. Le triangle OM'M'1 étant isocèle il est évident alors que |OM'|=|OM'1| ce qui démontre géométriquement que |z'+1|=|z|.

[mathiew]

OK Confusion de ma part entre z-1 et z+1, je rectifie

Partie B :

on designe par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et -1

on note C l'ensemble des points M du plan dont l'affixe verifie :module de z-1 =1

1) quelle est la nature de l'ensemble C ?

|z-1|=1 ==> √((x-1)^2+y^2)=1 ==> (x-1)^2+y^2=1. Le lieu de C est le cercle de centre {1,0} et de rayon r=1==>

2) a) soit M un point de C d'affixe z, distinct du point O

demontrer que module de z'+1 = module de z' , interpreter geometriquement cette egalité

z'+1=1-1/zb ==> (zb-1)/zb et comme |z-1|=|zb-1| d'une part et que |z' |=1/|zb| ==> | (zb-1)/zb |= |zb-1l/lzb]=1/|zb| =lz' |

b) est il vrai que reciproquement , si z' verifie l'egalité module de z'+1=module de z' , alors z verifie l'égalité module de z-1=module de z'

|z'+1|=|1-1/zb|=|(zb-1)/zb|=|(zb-1)|/|zb|=|z-1|/|zb| et comme d'une part |z-1|=1 et |z' |=1/|zb| ==> |z-1|=|z' |

3)Tracer l'ensemble C sur une figure . si M est un point de C , decrire et realiser la construction de M'

Figure à venir...

[Barbidoux]

C'est ce que j'explique dans mon message précédent

[mathiew]

C'est ce que j'explique dans mon message précédent

[Barbidoux]

Tu peux aussi dire que M1 étant le conjugué de M la relation z'=1/zb est en fait une inversion géométrique d'ordre k=-1 du point M1 puisque OM1*MM'=-1. M1 décrivant le cercle de centre {1,0} et de rayon 1 cette inversion le transforme en la droite d'équation x=-1/2. Tout point M' de cette droite d'affixe z' a pour symétrique par rapport à l'axe oy un point M2 de la droite x=1/2 d'affixe z'+1 et qu'en conséquence le triangle M'OM2 étant isocèle alors |OM'|=|OM2| ce qui est l'équivalence géométrique de |z'+1|=|z'|