Fonctions Trigonométriques

[Clm]

Bonjour/Bonsoir, j'ai un problème a résoudre 2 exercices de mathématiques dont un que j'ai commencé en partie.

Un mobile se déplace sur un axe (Ox), son abcisse x(t) à l'instant t est donnée par : x(t) =

1- Déterminer et interpréter des nombres suivants :

a- x(pi/4)

b- x'(pi/4)

c- x"(pi/4)

2- Résoudre dans [0;+[ et interpréter les équations suivantes :

a- x(t)=0

b- x'(t)=0

c- x"(t)=0

3- Démontrer que chacune des fonctions t |-> x(t), t |-> x'(t) et t |-> x"(t) est périodique, en précisant sa période.Quelle est la signification pour le mobile ?

4- A quel instants la vitesse du mobile est-elle maximale?

5- A quels instants l'accélération du mobile est-elle maximale?

Soit f la fonction définie sur I = ]-:pi:/2 ; :pi:/2[ par :

f(x) = sinx-tanx

On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.

1- Prouver que f est impaire.

2- Etablir le tableau de variation de f sur [0;:pi:/2[

3- En déduire le tableau de variation de f sur I.

4- Donner l'allure de la courbe représentative de f.

[Barbidoux]

Un mobile se déplace sur un axe (Ox), son abcisse x(t) à l'instant t est donnée par : x(t) = (√3/2)*Sin(2*t+Pi/3)

x'(t)=√3*cos(2*t+Pi/3) et x"(t)=-2√3*sin(2*t+Pi/3)

1- Déterminer et interpréter des nombres suivants :

a- x(pi/4)=√3*Sin(Pi/2+Pi/3)=√3/4

b- x'(pi/4)= -√3*Sin(Pi/2+Pi/3)=-3/2

c- x"(pi/4)=-√3/2

2- Résoudre dans [0;+[ et interpréter les équations suivantes :

a- x(t)=0 ==>sin(2*t+Pi/3)=0 ==>t=Pi/3 et t=5*Pi/6

b- x'(t)=0 ==>cos(2*t+Pi/3)=0 ==>t=Pi/12 et t=7*Pi/12

c- x"(t)=0 ==>sin(2*t+Pi/3)=0 ==>t=Pi/3 et t=5*Pi/6

3- Démontrer que chacune des fonctions t |-> x(t), t |-> x'(t) et t |-> x"(t) est périodique, en précisant sa période.Quelle est la signification pour le mobile ?

Période égale à Pi ce qui correspond à un aller retour du mobile

4- A quel instants la vitesse du mobile est-elle maximale?

lorsque x'(t) est maximal c'est à dire pour t=Pi/3 et 5*Pi/6 ce qui correspond à x=0

5- A quels instants l'accélération du mobile est-elle maximale?

lorsque x"(t) est maximal c'est à dire pour t=Pi/12 et 7*Pi/12 ce qui correspond à x'=0

[Barbidoux]

Soit f la fonction définie sur I = ]-Pi/2 ; Pi/2[ par :

f(x) = sinx-tanx

On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.

1- Prouver que f est impaire.

sin(-x)=-sin(x) et tan(-x)=-tan(x) ==> f(-x)=-f(x) ==> fonction impaire Le graphe de f(x) admet l'origine comme centre de symétrie

2- Etablir le tableau de variation de f sur [0;Pi/2[

f'(x)=cos(x)-cos(x)/cos(x)-sin^2(x)/cos^2(x)= cos(x)-1/cos^2(x)=(cos^3(x)-1)/cos^2(x) <0 qq soit la valeur de x

3- En déduire le tableau de variation de f sur I.

f(x) est décroissante sur [0, Pi/2[ donc par symétrie par rapport l'origine décroissante sur ]-Pi/2, 0]

4- Donner l'allure de la courbe représentative de f.

[Clm]

Merci de me répondre Barbidoux, cependant je ne comprend pas 2 points, à savoir :

2- Résoudre dans [0;+[ et interpréter les équations suivantes :

a- x(t)=0 ==>sin(2*t+Pi/3)=0 ==>t=Pi/3 et t=5*Pi/6

b- x'(t)=0 ==>cos(2*t+Pi/3)=0 ==>t=Pi/12 et t=7*Pi/12

c- x"(t)=0 ==>sin(2*t+Pi/3)=0 ==>t=Pi/3 et t=5*Pi/6

3- Démontrer que chacune des fonctions t |-> x(t), t |-> x'(t) et t |-> x"(t) est périodique, en précisant sa période.Quelle est la signification pour le mobile ?

Période égale à Pi ce qui correspond à un aller retour du mobile

Dans le 2 j'ai du mal à visualiser la méthode utilisée, enfin je ne comprend pas ce qu'il advient du début de chaque fonctions et dérivées, les nombres sous racines notamment? et je ne comprend pas comment on isole t, si tu pouvais me faire une démonstration sur un des cas j'en serait reconnaissant

De plus dans le 3 comment démontre t-on cette période?

Sinon merci j'ai compris tout le reste

[Barbidoux]

2- Résoudre dans [0;+[ et interpréter les équations suivantes :

a- x(t)=0 Pour qu'un produit de facteur soit nul il faut et il suffit qu'un facteur le soit x(t)=√3*sin(2*t+Pi/3)/2=0 ==>sin(2*t+Pi/3)=0 ce qui se produit lorsque sin(2*t+Pi/3)=Sin(0) ou sin(2*t+Pi/3)=Pi ==>t=Pi/3 et t=5*Pi/6

Même type de raisonnement pour les suivants.

3- Démontrer que chacune des fonctions t |-> x(t), t |-> x'(t) et t |-> x"(t) est périodique, en précisant sa période.Quelle est la signification pour le mobile ?

Si la fonction sin(2*t+Pi/3) est de période a*Pi alors sin(2*(t+a*Pi)+Pi/3)=sin(2*t+Pi/3+2*a*Pi)=sin(2*t+Pi/3) ==> a=1 et la période est Pi puisque sin(x)=sin(x+2*Pi)

[Clm]

Edit : J'ai dit des bétises...

[Clm]

Désolé mais comment peut on savoir les différents x; x' et x" sans notion de physique ( juste que je trouve la question piège ) ?

[Clm]

De plus comment rentrer la valeurs de f(:pi:/2) dans le second exercice dans le tableau de variation car

f(:pi:/2)=sin(:pi:/2)-tan(:pi:/2) soit f(:pi:/2)=1- indéterminé

Comment faire?

[Barbidoux]

Désolé mais comment peut on savoir les différents x; x' et x" sans notion de physique ( juste que je trouve la question piège ) ?

[Clm]

Ah ok merci !

Sinon j'arrive à retrouver tous les résultats par calcul sauf x"(:pi:/4)

Car je trouve -:sqrt:3

Je fais :

x"(:pi:/4) = -2 3 * sin(:pi:/2+:pi:/3)

x":pi:/4) = -2 3 * sin(:pi:/6)

x"(:pi:/4)= -2 3 * 1/2

x"(:pi:/4)= - 3

Je ne trouve pas ma faute :/

[Clm]

De plus que représente ces 3 réels? Ce sont respectivement la position, la vitesse et l'accélération initiale du pendule non?

[Clm]

De plus, pour la question qu'elle est la signification pour le pendule vous répondez que la fonction est pi périodique mais n'est elle pas 2pi périodique et dans ce cas la, le pendule fait une aller retour en 2pi ?,

Désolé des posts successifs mais l'édition des messages est pas terrible

[Barbidoux]

De plus que représente ces 3 réels? Ce sont respectivement la position, la vitesse et l'accélération initiale du pendule non?

[Clm]

Ok merci, juste une dernière question après j'arrête mon harcèlement de questions, mais l'accélération, la vitesse et la position ne sont pas les même selon l'endroit t, mais pour t=pi/4 n'est ce pas l'accélération, la vitesse et la position intiale du pendule? Si non, ou ce trouve le pendule à cet date?

[Barbidoux]

Ok merci, juste une dernière question après j'arrête mon harcèlement de questions, mais l'accélération, la vitesse et la position ne sont pas les même selon l'endroit t

[Clm]

Ok merci encore une fois