Complexe

[menaoui]

bonjour, jourai je savoir si mes résultats sont juste:

déterminer les éléments cractéristiques de ces lieux géométriques:

1) tout en valeur absolue (module) |z-2+i|/|z+1-2i|=V2/2 avec V une racine carré

cercle de centre 3-i et de rayon V5, dois je préciser privé du point d'affixe -1+2i???

2) arg((z+2-5i)/(z-4+3i))=PI/2

demi cercle de centre 1+i et de rayon 5, dois je présicer privé de quel(s) point(s)?

merci beacoup

[Barbidoux]

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On désire trouver le lieu géométrique de |z-2+i|/|z+1-2i|=√2/2

Si l'on pose z=x+i*y alors :

|z-2+i|=√((x-2)^2+(y+1)^2)

|z+1-2i|=√((x+1)^2+(y-2)^2)

et donc :

|z-2+i|/|z+1-2i|=√2/2 ==>2*(x-2)^2+2*(y+1)^2=(x+1)^2+(y-2)^2

==>x^2-10 x+y^2+8 y+5=0 ==> (x-5)^2+(y+4)^2=36

Cercle de centre {5,-4*i} et de rayon 6.

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On désire trouver le lieu géométrique de arg[(z-2+i)/(z+1-2*i)]=Pi/2

arg[(z-2+i)/(z+1-2*i)]=arg(z-2+i)-arg(z+1-2*i)=Pi/2 car l'argument du rapport de deux complexes est égal à la différence des arguments du numérateur et du dénominateur

Si l'on pose z=x+i*y alors :

Tan(Arg[z-2+i])=(y+1)/(x-2)

Tan(Arg[(z+1-2*i)])=(y-2)/(x+1)

De la relation Tan(a+Pi/2)=-Coth(a) on déduit que (y-2)/(x+1)=-(x-2)/(y+1) ==> y^2-y+x^2-x-4=0 ==> (y-1/2)^2+(x-1/2)^2=9/2 soit le cercle de rayon 3√2/2 centré en {1/2,i/2}.

Mais arg(z-2+i)-arg(z+1-2*i)=Pi/2 oblige arg(z-2+i)>arg(z+1-2*i)=Pi/2 pour que la mesure de Pi/2 se fasse dans le sens direct ce qui limite le lieu de z au demi-cercle supérieur de rayon 3√2/2 centré en {1/2,i/2}.

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