Dm De Math

[mathiew]

bonjour je suis embeté avec un dm de math que je 'arrive pas a faire

pouvez vous m'aider ?

I) soit f la fonction definie sur R par f( x)=x-(e^x-1)/(e^x+1)

soit C sa representation graphique dans un repere orthonormé

1) c) demontrer que les droites D et D' d'equations respectives y=x+1 et y=x-1

sont asymptote à C respectivement en -oo et en +oo

d) preciser les positions relatives de C par rapport aux droites D et D'

2) a) demontrer que la fonction f est impaire

b) etudier les variations de f sur [0;+oo[

3) Tracer D, D' la tangente à C au point de C d'abscisse 0 puis la courbe C

II) Determiner la fonction f derivable sur R vérifiant les deux conditions suivantes :

pour tout x appartenant a R , f( x) +2f'( x)=0

La representation graphique de f admet au point d'abscisse -2 une tangente

de coefficient directeur 1/2

III) 1) En etudiant les variations d'une fonction f bien choisie , demontrer que pour tout réel x , 1+x<e^x (1)

2) en remplaçant x par -x dans (1) , demontrer que pour tout x<1 e^x<1/(1-x) (2)

3) soit n un entier , n>2

a) En posant x=1/n , demontrer à partir de (1) que /1+(1/n))^n<e (3)

b) En posant x=1/(n+1) , demontrer à partir de (2) que e<(1+(1/n))^(n+1)

merci d'avance a tous ceux qui voudrons bien m'aider

[rideur 89]

Wouu rien qu'a voir le sujet ><"

Bonne chance je peux pas t'aider je suis en première :/

[Barbidoux]

Pour débuter........

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I) soit f la fonction definie sur R par f( x)=x-(e^x-1)/(e^x+1)

soit C sa representation graphique dans un repere orthonormé

1) c) demontrer que les droites D et D' d'equations respectives y=x+1 et y=x-1

sont asymptote à C respectivement en -oo et en +oo

d) preciser les positions relatives de C par rapport aux droites D et D'

Lorsque x-> alors exp(x)>>1 et -1 et f(x) x-exp(x)/exp(x)=x-1 -> et la droite y=x-1 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-x-1 =1/(exp(x)+1) >0 et le graphe de f(x) est placé au dessus de son asymptote

Lorsque x-> - alors exp(x)->0 et 1 ou -1 >> exp(x) et f(x) x-(-1/1)=x+1 -> - et la droite y=x+1 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-x-1 =1/(exp(x)+1) >0 et le graphe de f(x) est placé au dessus de son asymptote

2) a) demontrer que la fonction f est impaire

f(-x)=-x-(exp(-x)-1)/(exp(-x)+1) =-x-(1-exp(x))/(1+exp(x))=-f(x) et la fonction f(x) est paire (symétrie de son graphe / l'origine)

b) etudier les variations de f sur [0;+oo[

f'(x)=1 + (\[ExponentialE]^

x (-1 + exp(-x)))/(1 + exp(-x))^2 - exp(-x)/(1 + exp(-x)) =(1 + exp(-x))/(1 +exp(-x))^2 >0 qq soit x et la fonction f(x) est croissante sur son intervalle de définition

3) Tracer D, D' la tangente à C au point de C d'abscisse 0 puis la courbe C

L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 s'écrit y=f'(0)*x+f(0) =x/2

II) Determiner la fonction f derivable sur R vérifiant les deux conditions suivantes : pour tout x appartenant a R , f( x) +2*f'( x)=0

La representation graphique de f admet au point d'abscisse -2 une tangente de coefficient directeur 1/2

f( x) +2*f'( x)=0 ==> f'(x)/f(x)=-1/2 ==> f(x)=k*exp(-x/2)

où k est une constante dont on détermine la valeur en écrivant que la representation graphique de f admet au point d'abscisse -2 une tangente de coefficient directeur 1/2

==> f'(-2)=1/2 or f'(x)=-(k/2)*exp(-x/2) ==> f'(2)=-(k/2)exp(-1) =1/2 ==> k=-exp(1) et f(x)=-exp(1)*exp(-x/2) ou encore f(x)=-exp(1-x/2)

[mathiew]

merci g pu corriger des erreurs que j'avais faite et completer ce qu'il me manquai

mais le grand 3 je n'y arrive pas pouvez vous me donner la suite sil vous plait

[Barbidoux]

III) 1) En etudiant les variations d'une fonction f bien choisie , demontrer que pour tout réel x , 1+x =< e^x (1)

La fonction f(x)=exp(x) est une fonction croissante sur R. f'(x)=f(x) et le graphe de f(x) admet en x=0 une tangente d'équation y=f'(0)*x+f(0)=x+1. La fonction g(x)=f(x)-(x+1) ==> g'(x)=exp(x)-1 est une fonction qui s'annule pour x=0 et dont le tableau de variation :

x..........................0.......................

g'(x)......(-)..........(0).........(+).......

g(x).....decrois....Min.......crois.........

montre que graphe de f(x) est toujours situé au dessus de sa tangente à l'exception de x=0 valeur pour laquelle f(x)=x+1==> f(x)-(x+1) >=0 ==> x+1 exp(x) pour x appartenant à R et x+1 < exp(x) pour x appartenant à R\{0}

2) en remplaçant x par -x dans (1) , demontrer que pour tout x<1 e^x<1/(1-x) (2)

pour x>1 alors x+1 < exp(x). On pose x=-x ==> -x+1 < exp(-x)=1/exp(x) si x <1 alors ==> -x+1 >0 et ==>1 < 1/(exp(x)*(1-x)) ==> exp(x) < 1/(1-x)

3) soit n un entier , n>2

a) En posant x=1/n , demontrer à partir de (1) que /1+(1/n))^n<e (3)

pour x>0 alors x+1 < exp(x). On pose x=1/n ==>1/n+1< exp(1/n). Pour n>2 alors 1/n+1>0 et exp(1/n)>0 ==>(1/n+1)ⁿ< exp(1/n)ⁿ=exp(1)

b) En posant x=1/(n+1) , demontrer à partir de (2) que e<(1+(1/n))^(n+1)

pour n>2 alors x=1/(n+1) <1 et exp(x) < 1/(1-x1) ==> exp(1/(n+1) ) < 1/(1-1/(n+1)) =n+1/n=1+1/n ==> exp(1/(n+1))ⁿ⁺¹ < (1+1/n)ⁿ⁺¹

[mathiew]

j'ai chercher et il faut que je trouve quand est ce que -2e^x>0merci d'avance

[Barbidoux]

j'ai chercher et il faut que je trouve quand est ce que -2e^x>0merci d'avance