Les Suites

[manounne]

Bonsoir, voici un exercice que je dois faire.

J'ai l'impression de ne rien savoir faire. Serait-il possible d'être orientée? D'avance, merci.

On considère la suite (u_n) _{n appartient à N} définie pour tout n entier naturel par u_n= n³ et la somme de ses premiers termes S_n= u₀ + u₁+ ... + u_n = SOMME k³ (Il y a un n sur la somme et dessous: k=0)

1) Donner en fonction de n, la somme des n+1 premiers termes de la suite arithmétique des entiers naturels c'est-à-dire V_n= 0 + 1 + ... + n

2) Avec un tableur, calculer la valeur de S_n pour n allant de 1 à 30

3) Avec un tableur, calculer la valeur de (V_n)² pour n allant de 1 à 30. Que constate t-on ?

4) A partir du constat ci-dessus, conjecturer une formule donnant la valeur de S_n en fonction de n puis la démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

==> La formule étudiée pour la somme des n+1 premiers termes d'une suite arithmétique :

S = (nombre de termes x (1er terme + dernier terme) / 2)

Donc pour une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1 :

S = (n+1)(1 + n³) /2) = (n⁴+ n³+ 2n) / 2 ??????????

[Barbidoux]

On considère la suite (un) n appartient à N définie pour tout n entier naturel par un= n3 et la somme de ses premiers termes Sn= u0 + u1+ ... + un = SOMME k3 (Il y a un n sur la somme et dessous: k=0)

1) Donner en fonction de n, la somme des n+1 premiers termes de la suite arithmétique des entiers naturels c'est-à-dire Vn= 0 + 1 + ... + n

V_n=n*(n+1)/2

2) Avec un tableur, calculer la valeur de S_n pour n allant de 1 à 30

3) Avec un tableur, calculer la valeur de (V_n)² pour n allant de 1 à 30. Que constate t-on ?

S_n=(n*(n+1)/2)²

4) A partir du constat ci-dessus, conjecturer une formule donnant la valeur de Sn en fonction de n puis la démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence.

On admet que S_n-1=((n+1)*n/2)²

donc S_n=((n-1)*n/2)²+n³=(n-1)²*n²/4 +n³=n²((n-1)²+4*n)/4 =n²(n²-2*n+4+4*n)/4=n²(n²+2*n+4)/4=n²(n+1)^2/4

et finalement S_n=(n*(n+1)²/2