Argument

[menaoui]

bonjour j'ai besoins d'aide pour comprendre les choses suivantes:

Pourquoi arg((z+i)/(1+i))=PI/2 est une droite d'équation y=-x-1

et que arg((z-2)/(z+2))=PI/2 est un demi cercle merci

[menaoui]

sil vous plait

[Barbidoux]

soit un vecteur OM d'affixe z=a+i*b dans le repère {oi, oj}

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Lieu de Arg[(z+i)/(1+i)]=Pi/2

Arg[(z+i)/(1+i)]=Pi/2 ==> Arg[(z+i)]-Arg[(1+i)]=Pi/2 => Arg[(z+i)]-Pi/4=Pi/2 ==> Arg[(z+i)]=3*Pi/4. Donc l'extrémité du vecteur OM' d'affixe z+i décrit la droite d'équation y=-x et celle de OM la droite d'équation y=-x-1.

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Lieu de Arg[(z-2)/(z+2)]=Pi/2

Les vecteurs OM' d'affixe z-2 et OM" d'affixe z+2 tels sont les extrémités d'un triangle rectangle de centre M{x,y}. Lorsque la partie imaginaire y de z est <0 l'angle M'OM vaut pi/2 alors qu'il vaut -Pi/2 lorsqu'elle est >0. Le lieu de M tel que Arg[(z-2)/(z+2)]=Pi/2 est donc le demi cercle inférieur, de centre O et ayant pour rayon |z|.

[menaoui]

merci, ça m'éclair car j'ai un cc d'algèbre ce matin à 11h10 donc encore merci

[Barbidoux]

Rectificatif

A la réflexion l'explication géométrique que j'ai donnée correspond au cas où arg{(z-2)/(z+2)=-Pi/2. L'idée était bonne mais j'ai fauté sur le signe de arg{(z-2)/(z+2). D'ailleurs cela se voit sur la figure puisque la différence d'argument entre z-2 et z+2 n'est pas Pi/2 comme faussement indiquée mais -Pi/2.

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Je reprend et étaye la démonstration :

arg[(z-2)/(z+2)]=arg(z-2)-arg(z+2)=Pi/2 car l'argument du rapport de deux complexes est égal à la différence des argument du numérateur et du dénominateur

Si l'on pose z=x+i*y alors :

Tan(Arg[z-2])=y/(x-2)

Tan(Arg[z+2])=y/(x+2)

De la relation Tan(a+Pi/2)=-Coth(a) on déduit que y/(x-2)=-(x+2)/y ==> y^2+x^2-4=0 soit le cercle de rayon 2 centré à l'origine.

Mais Arg[z-2]-Arg[z+2]=Pi/2 oblige Arg[z-2]>Arg[z+2] pour que la mesure de Pi/2 se fasse dans le sens direct ce qui limite le lieu de z à un demi-cercle supérieur centré à l'origine et de rayon 2.