Nombres Complexes

[Tibo54]

Bonsoir,j'ai 4 "mini exos"(je cite...) sur les nb complexes dont 3 sur lesquels je bloque...Merci d'avance pour votre aide

1er exo:

z et z' sont deux complexes.Démontrer que "z+z' et zz' sont tous les deux réels" équivaut à "z et z' sont réels ou conjugués" (Gnééé?)

2ème exo:

Trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les complexes a et b pour que les nombres X,Y et Z suivants soient tous réels:

X=(a+b)/(1+ab) Y=i*[(a-b)/(1+ab)] Z=(1-ab)/(1+ab)

3ème exo: (V=racine carré de...)

j désigne le nb complexe -1/2 + i*[V3/2)]

1) Ecrivez sous forme algébrique j^2,j^3,j^5 et j^10

2) Démontrer que la suite des nb complexes Zn définie par Zn=j^n est périodique.Préciser sa période.

3)On pose Sn(S indice n)=1+j+j^2+...+j^n. Calculer S2(S indice 2) et démontrer que Sn=1-j^(n+1)/2-j

[Tibo54]

Je tente un petit up de désespoir...^^'

[Barbidoux]

Exo 1

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z et z' sont deux complexes.Démontrer que "z+z' et zz' sont tous les deux réels" équivaut à "z et z' sont réels ou conjugués"

z=x+i*y) et z'=a+i*b

==> z+z'=x+a+i*(y+b) réel si y et b=0 ou y=-b

==>z*z'=(a*x-b*y)+i*(x*b+y*a) reel si x et a=0 , y et b =0 ou y=-b si a=x

Conclusion Z+z' et z*z' réels si a et b=0 ou z et z' conjugués (x=a et y=-b)

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2ème exo:

Trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les complexes a et b pour que les nombres X,Y et Z suivants soient tous réels:

X=(a+b)/(1+ab) Y=i*[(a-b)/(1+ab)] Z=(1-ab)/(1+ab)

D'après l'exo 1 je dirais que la condition a et b réels ne convient pas. Par contre si a et b sont conjugués ce qui entraîne que a-b est imaginaire a+b réel et a*b réel alors X,Y et Z sont réels.

[Tibo54]

Bonjour et merci Barbidoux.

Ok pour les exercices 1 et 2 je les ai terminé...Par contre je bloque toujours pour l'exo 3...

[Tibo54]

Je retente un petit up

[anna75]

bonjour barbidoux , je n'ai pas d'autres moyens que de vous contacter sur ce topic pour savoir si vous pouvez m'aidez pour mon dm de maths voila merci.

Desolé Tibo54 , d'intervenir sans te donner d'aide je n'ai pas les competances pour ce dm !!

[Barbidoux]

Exo 3

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j=-1/2+i*√3/2=Cos(2*Pi/3)+i*Sin(2*Pi/3)=exp(2*i*Pi/3)

j^2=exp(4*i*Pi/3)

j^3=exp(6*i*Pi/3)=1

j^4=exp(2*i*Pi/3)

j^5=exp(4*i*Pi/3)

j^6=1

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La suite des nombre complexe z_n est une suite périodique de période 3 puisque z_n+3=z_n*z₃ et que z₃=1

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La suite des nombre complexe z_n est une suite géométrique se raison j alors :

S_n=1+j+j^2+......j^n=(1-jⁿ⁺¹)/(1-j)

[nanou54]

J'ai le même sujet de dm, et j'ai quelques probleme... Je n'ai pas compri pour l'exercice 2, et je bloque pour la démonstration de Sn=[1-j^(n+1)]/(1-j)

Serait-il possible d'avoir de l'aide ? merci d'avance =)

[Barbidoux]

J'ai le même sujet de dm, et j'ai quelques probleme...

Je n'ai pas compri pour l'exercice 2, que n'as tu pas compris ??

et je bloque pour la démonstration de Sn=[1-j^(n+1)]/(1-j) ça c'est un résultat de cours (somme des n termes d'une suite géométrique)

Serait-il possible d'avoir de l'aide ? merci d'avance =)

[nanou54]

Ah oui !!! merci =)

Pour l'exercice 2, je n'ai pas du tout compris comment arriver à votre conclusion... =s

[Barbidoux]

Ah oui !!! merci =)

Pour l'exercice 2, je n'ai pas du tout compris comment arriver à votre conclusion... =s

[nanou54]

D'accord ! merci beaucoup =)