Exercices Ds Vecteurs Premiere S

[MHD]

Bonjour, voici 2 exercices sur les vecteurs sur lesquels je bloque complètement. Merci de votre aide !!!

Exercice 1 :

A, B, C sont trois points non alignés.

1°)

a) Placer les points M, N et P définis par CM = 2CA, -2BP + 3AP = 0 ,4BN = -3NC

b) Montrer que MP = CA - 2CB

c) Exprimer le vecteur MN en fonction de CA et CB

d) Que peut-on dire des points M, N et P ?

2°)

a) Placer le point T défini par CT = 3/2CA + 3CB

b) Démontrer que les droites (NT) et (CP) sont parallèles.

Exercice 2:

Etant donné un triangle ABC et un réel k, on définit trois points P, Q et R: AP = kAB, CQ = kCA et CR = - kCB

1°) Déterminer, dans le repère (A,AB,AC) les coordonnées des points P, Q et R en fonction de k

2°) Déterminer les coordonnées des vecteurs PQ et PR en fonction de k

3°) Déterminer la valeur de k pour laquelle les points P, Q et R sont alignés et distincts

4°) Montrer que si k=1/3 , alors Q est le milieu de [PR]

[Barbidoux]

1a------------

CM=2*CA ==> AM=CA

3*AP-2*BP=0 ==>3*AP+2*PB=0 ==> AP+2*AB=0

4*BN=-3*NC ==> 4*BN+3*NC=0 ==> BN+3*BC=0

1b------------

MP=MA+AP=AC+2*BA=AC+2*BC+2*CA =CA+2*BC=CA-2*CB

1c------------

BN=3*CB==> CB+BN=4*CB

MN=NC+CN=2*AC+4*CB=2*MP ==> M,N et P sont alignés

2a------------

2b------------

PC=PA+AC=2*AB+AC=2*AC+2*CB+AC=3*AC+2*CB

on pose CB'=3*CB ==> B'T=3*CA/2

TN=TB'+B'N =3*AC/2+CB ==> 2*TN=PC et les droites PN et PC sont //

[MHD]

Bonjour Barbidoux et merci. Cependant à l'exercice 1 je ne comprends pas le 2a et 2b, pouvez-vous me le détailler svp ? et m'aider pour l'exercice 2 ?

1a------------

CM=2*CA ==> AM=CA

3*AP-2*BP=0 ==>3*AP+2*PB=0 ==> AP+2*AB=0

4*BN=-3*NC ==> 4*BN+3*NC=0 ==> BN+3*BC=0

1b------------

MP=MA+AP=AC+2*BA=AC+2*BC+2*CA =CA+2*BC=CA-2*CB

1c------------

BN=3*CB==> CB+BN=4*CB

MN=NC+CN=2*AC+4*CB=2*MP ==> M,N et P sont alignés

2a------------

2b------------

PC=PA+AC=2*AB+AC=2*AC+2*CB+AC=3*AC+2*CB

on pose CB'=3*CB ==> B'T=3*CA/2

TN=TB'+B'N =3*AC/2+CB ==> 2*TN=PC et les droites PN et PC sont //

[Barbidoux]

1------------------------

P{k,0}

----------

AQ=AC+CQ=AC+k*CA=AC-k*AC ==> Q{0,1-k}

---------

AR=AC+CR=AC-k*CB=AC-k*(CA+AB)=AC*(1+k)-k*AB ==> R{-k,1+k}

---------

PQ{-k,1-k}

PR{-2*k,1+k}

Pour que P,Q et R soient alignés il faut que leurs composantes soient proportionnelles soit que 1-k=(1+k)/2 ==>k=1/3

---------

Lorsque k=1/3 ==> P{1/3,0}, Q{0,2/3} et R{-1/3, 4/3} et Q est le milieu de PR.

2a------------

Placer le point T défini par CT = 3*CA/2 + 3CB

Pas grand chose à expliquer ce n'est que la construction du point T. On part de C et on construit le point B' tel que CB'=3*CB. Ensuite on trace la parallèle à CA sur la quelle on porte le point T à 3*CA/2 de B' ==> B'T=3*CA/2.

2b------------

PC=PA+AC=2*AB+AC=2*AC+2*CB+AC=3*AC+2*CB

on pose CB'=3*CB ==> B'T=3*CA/2

TN=TB'+B'N =3*AC/2+CB ==> 2*TN=PC et les droites PN et PC sont //

Là encore pas grand chose à ajouter ce n'est que l'égalité 2*TN=PC montre que ces vecteurs sont colinéaires donc les droites qui les portent parallèles entre elles.