Construire Une Parabole.

[elp]

y = 1 (x - 1)² + x + 1

rappel: (a-b)²=a²-2*a*b+b²

(x-1)²=x²-2*1*x+1²=x²-2x+1

et y=x²-2x+1 + x + 1=x²-x+2

[Shadow-memory]

Donc, pour P_-1 ça donne :

y = -x² - 2x -1 + x + 1 = -x² - x + 1 ?

a = -1 , b = -1 ?

Sinon il me reste 2 questions

1) Est-ce qu'il y a d'autres points communs entre P et P₁ et entre P et P_-1 ?

Je dirais que non au vue de mon graphique mais je ne sais pas comment l'expliquer.

2) Démontrer que pour tout a ≠ de - (1/3), P et P_a ont un seul point commun.

Et une dernière vérification, P_a est bien égal à P₁ ? (question personnelle).

[elp]

Donc, pour P_-1 ça donne :

y = -x² - 2x -1 + x + 1 = -x² - x + 1 ?

Non

y=-(x-1)²+x+1=-(x²-2x+1)+x+1=-x²+2x-1+x+1=-x²+3x

a=-1 et b=3

a = -1 , b = -1 ?

Sinon il me reste 2 questions

1) Est-ce qu'il y a d'autres points communs entre P et P₁ et entre P et P_-1 ?

Je dirais que non au vue de mon graphique mais je ne sais pas comment l'expliquer.

Ok, on va l'expliquer au 2)

2) Démontrer que pour tout a ≠ de - (1/3), P et P_a ont un seul point commun.

y=-x²/3+5x/3+2/3 est l'équation de P

y=a(x-1)²+x+1 est celle de P_a

les coordonnées ('x,y) du ou des pts d'intersection de ces 2 courbes vérifient à la fois

y=-x²/3+5x/3+2/3 et y=a(x-1)²+x+1=ax²-2ax-a+x+1=ax²+x(1-2a)+1+a

On en déduit que -x²/3+5x/3+2/3=ax²+x(1-2a)+1+a

donc que:

-x²/3+5x/3+2/3-ax²-x(1-2a)-1-+a=0

x²(-1/3-a)+x(5/3-1+2a)+2/3-1-a=0

x²(-1/3-a)+x(2/3+2a)-1/3-a=0

on met (-1/3-a) en facteur

(-1/3-a)[x²-2x+1]=0

(-1/3-a)(x-1)²=0

comme a est différent de -1/3 et comme le produit est nul alors c'est que (x-1)²=0 dc que x=1

quelle que soit la valeur de a, quand x=1 alors y=2 (déjà vu avant que ttes les para passent par le point(1;2) )

Conclusion: les paraboles n'ont qu'un pt commun de coordonnées (1;2)

Et une dernière vérification, P_a est bien égal à P₁ ? (question personnelle).

P_a est égale à P₁ quand a=1

y=a(x-1)²+x+1

si a =2, tu auras une parabole qu'on appelle P₂

si a=15, tu auras une autre parabole qu'on appelle P_{15 etc...}

[Shadow-memory]

Donc, pour P_-1 ça donne :

y = -x² - 2x -1 + x + 1 = -x² - x + 1 ?

Non

y=-(x-1)²+x+1=-(x²-2x+1)+x+1=-x²+2x-1+x+1=-x²+3x

a=-1 et b=3

Donc -b / 2a = -3 / -2 = 1,5. ? (J'ai vraiment du mal avec développer / factoriser).

Et si j'ai bien compris, pour trouver l'ordonnée.

-x² + 3x = (-3 / -2)² + 3 * (-3 / -2) ?

Sinon il me reste 2 questions

1) Est-ce qu'il y a d'autres points communs entre P et P₁ et entre P et P_-1 ?

Je dirais que non au vue de mon graphique mais je ne sais pas comment l'expliquer.

Ok, on va l'expliquer au 2)

2) Démontrer que pour tout a ≠ de - (1/3), P et P_a ont un seul point commun.

y=-x²/3+5x/3+2/3 est l'équation de P

y=a(x-1)²+x+1 est celle de P_a

les coordonnées ('x,y) du ou des pts d'intersection de ces 2 courbes vérifient à la fois

y=-x²/3+5x/3+2/3 et y=a(x-1)²+x+1=ax²-2ax-a+x+1=ax²+x(1-2a)+1+a

On en déduit que -x²/3+5x/3+2/3=ax²+x(1-2a)+1+a

donc que:

-x²/3+5x/3+2/3-ax²-x(1-2a)-1-+a=0

x²(-1/3-a)+x(5/3-1+2a)+2/3-1-a=0

x²(-1/3-a)+x(2/3+2a)-1/3-a=0

on met (-1/3-a) en facteur

(-1/3-a)[x²-2x+1]=0

(-1/3-a)(x-1)²=0

comme a est différent de -1/3 et comme le produit est nul alors c'est que (x-1)²=0 dc que x=1

quelle que soit la valeur de a, quand x=1 alors y=2 (déjà vu avant que ttes les para passent par le point(1;2) )

Conclusion: les paraboles n'ont qu'un pt commun de coordonnées (1;2)

Et une dernière vérification, P_a est bien égal à P₁ ? (question personnelle).

P_a est égale à P₁ quand a=1 D'accord, c'était simplement pour vérifier, car quand je rentrais la formule de Pa dans Geogebra, la parabole qu'ils construisaient était la même que celle de P1.

y=a(x-1)²+x+1

si a =2, tu auras une parabole qu'on appelle P₂

si a=15, tu auras une autre parabole qu'on appelle P_{15 etc...}

[joyjoy]

Pour les possesseurs de Mac, un logiciel intégré se trouve dans vos applications/utilitaires/grapher:

Il vous permet de tracer quasiment toutes les courbes, 2D et 3D, par exemple du problème posé:

Ci joint ce que nous propose grapher du Mac.

C'est un outil fort intéressant qui je pense à besoin d'être considéré par tout les étudiants possédant un Macintosh,

s'il ne résoudra bien évidemment pas tous les problèmes à votre place!!

[Shadow-memory]

Après calculs j'ai trouvé (1,5 ; 2,25) pour les coordonnées du sommet de P_-1

Est-ce juste ?

Si oui, et bien, j'ai finis.

Donc je vous remercie tous pour l'aide apportée

[pototamo]

Bonjour à tous est ce que ca reponse est bonne car je coince su P-1.

merci.