1Ère S Dm Barycentre

[zezette427]

Bonjour à tous

Pendant les vacances , j'ai un dm de maths à faire sur les barycentres.

Je pensais avoir compris et que j'y arriverais sans difficultés.. hélas .. ce n'est pas le cas..

Est ce que quelqu'un pourrais m'aider et me donner des conseils pour les exercices suivant ?

PARTIE A "quelques propriétés du losange"

Soit A un point du plan , Soient u et v deux vecteurs.

Soient B et D les points tels que vecteurAB=Vecteur u et VecteurAD=Vecteur v

Soit, enfin C le point tel que vecteur AC = Vecteur u + Vecteur v

1) Démonter que ABCD est un parallélogramme.

2) Suppose désormais que ||vecteur u || = || vecteur v ||

a) quelle est alors la nature du parallélogramme ?

b) démonter que la droite (AC) est la bissectrice de l'angle BÂD

PARTIE B "centre de gravité d'un triangle "fil""

On considère trois points ABC reliés pas du fil ( de fer) d'épaisseur négligeable.

Le but est de déterminer la position du centre de gravité S du systeme.

on note I, J et K les milieux respectifs de [bC] , [AC] , et [ AB ]

on note aussi : a =BC , b = AC et c = AB

chaque tige ayant une masse proportionelle à sa longueur, on admet que :

S=Bar (I,a) (J,b) (K,c)

1) Démonter que : Vecteur IS = b/a+b+c Vecteur IJ + c/a+b+c Vecteur IK

2) On pose Vecteur u = b/a+b+c Vecteur IJ et Vecteur v = c/a+b+c Vecteur IK

Démonter que ||vecteur u || = || Vecteur v ||

3) En déduire que S est situé sur la bissectrice issu de I dans le triangle IJK

4) Démontrer que S est le centre du cercle C inscrit dans le triangle IJK

Je vous remercie par avance de l'aide que vous pouvez m'apporter

[Barbidoux]

PARTIE A "quelques propriétés du losange"

Soit A un point du plan , Soient u et v deux vecteurs.

Soient B et D les points tels que vecteurAB=Vecteur u et VecteurAD=Vecteur v

Soit, enfin C le point tel que vecteur AC = Vecteur u + Vecteur v

1) Démonter que ABCD est un parallélogramme.

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Relations vectorielles

AC=u+v=AB+AD

AB+BC=AB+AD ==> AB=AD et ABCD est un parallélogramme

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2) Suppose désormais que ||vecteur u || = || vecteur v ||

a) quelle est alors la nature du parallélogramme ?

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|u|=|v| ==> |AB|=|BC|=|CD|=|DA| et ABCD est un losange

b) démonter que la droite (AC) est la bissectrice de l'angle BÂD

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Les diagonales d'un losange sont bissectrices des angles au sommet qu'elles joignent donc AC est la bissectrice de l'angle BAD

suite a venir...

[Barbidoux]

Partie B

1----------------------

S est le barycentre de (I,a) (J,b) (K,c) ==> a*SI+b*SJ+c*SK=0

a*SI+b*SI+b*IJ+c*SI+c*IK=0

(a+b+c)*SI+b*IJ+c*IK=0

IS=(b/(a+b+c))*IJ+(c/(a+b+c))*IK

2----------------------

Thalès ==>

|IJ|=|AB|/2=c/2

|IK|=|CA|/2=b/2 ==>|(b/(a+b+c))*IJ|=|(c/(a+b+c))*IK|=b*c/(2(a+b+c)) ==> |u|=|v|

3----------------------

IS=u+v et |u|=|v| alors SI est la diagonale du losange formé par les vecteurs u, v et les points S et I et SI la diagonale de ce losange est aussi bissectrice des angles des sommets qu'elle joint donc bissectrice de l'angle JIK

4-----------------------

En écrivant :

a*SI+b*SJ+c*SK=0

a*SJ+a*JI+b*SJ+c*SJ+c*JK=0

(a+b+c)*JS=a*JI+c*JK ==>JS=(a/(a+b+c))*JI+(c/(a+b+c))*JK

on démontrerait de la même manière que S est sur la bissectrice de l'angle IJK. S étant le point de concours des bissectrices du triangle IJK est le centre du cercle inscrit dans ce triangle

[zezette427]

Merci Beaucoup. J'ai lu ce que vous avez mis , et ensuite je l'ai refait toute seule, j'ai beaucoup mieux compris.