Terminal Dm

[mathiew]

bonjour j'ai un dm a faire sur les exponnentielle mais j'ai un peu de mal je vous remercierai de bien vouloir m'aider

I) soit f la fonction définie par : f(x)=(x*e^x)/e^x-1 pour tout xappartenant a R et f(0)=1

soit C la representation graphique de f dans un repère orthonormal

1) a) determiner lim f(x)quand x tend vers -oo

b) demontrer que pour tout réel x non nul : f(x)=x(1+1/(e^x-1))

en deduire lim f(x) quand x tend vers +oo

2) determiner lim (e^x-1)/x quand x tend vers 0 et demontrer que f est continue en 0

3) a) demontrer que, pour tout réel x, on a e^x >x+1 et que l'égalité n'a lieu que si x=0

b) calculer f'(x) pour tout x réel non nul et determiner la foncttion g telle que ,

pour tout x appartenant a R , f'(x)=(e^x *g(x))/(e^x-1)²

c) donner le tableau de variation de f

4) soient x un réel non nul, et les points M (x;f(x)) M'(-x;f(-x)) de la courbe C

a) demontrer que f(-x)=x/(e^x-1) , puis determiner le coefficient directeur de (MM')

b)on admet que f est derivable en 0 . Que suggere alors le resultat précédent ?

II) La courbe C est la courbe representative de la fonction f(x)=e^x-x

le but de l'exercice est de demontrer qu'il existe deux tangentes à passant par I (1;0)

et preciser ces tangentes

1)A est le point de C d'abcisse a et Ta est la tangente a C en A à C

a) determiner en fonction de a une equation de Ta

b) demontrer que Ta passe pas I si et seulement si e^a(2-a)=1(E)

2)on note g la fonction definie sur R pas g(x)=e^x(2-x)

a) etudier les variations de g et dresser son tableau de variation

b) demontrer que l'equation g(x)=1 a exactement deux solutions notées alpha et beta

c)donner de alpha et de beta une valeur aprochée par excès à 0.1 près

d) conclure

voila merci d'avance pour l'aide que vous pouvez m'apporter

[pzorba75]

bonjour j'ai un dm a faire sur les exponentielles mais j'ai un peu de mal je vous remercierai de bien vouloir m'aider

I) soit f la fonction définie par : f(x)=(x*e^x)/(e^x-1) pour tout x appartenant à R et f(0)=1

soit C la représentation graphique de f dans un repère orthonormal

1) a) déterminer lim f(x)quand x tend vers -oo

lim x tend vers -infty (e^x/(e^x-1)=0 =>lim x tend vers -infty (f)=0

b) démontrer que pour tout réel x non nul : f(x)=x(1+1/(e^x-1))

f(x)=x[(e^x+1-1)/(e^x-1)]=x[1+e^x/(e^x-1)]

en déduire lim f(x) quand x tend vers +oo

lim x tend vers+infty (e^x/(e^x-1)=lim x tend vers+infty (1/(1-1/e^x)=+1=>lim x tend vers+infty[x(1+e^x/(e^x-1))]=+infty

2) déterminer lim (e^x-1)/x quand x tend vers 0 et démontrer que f est continue en 0

au voisinage de 0 e^x=1+x(approximation locale) d'où lim x tend vers 0[(e^x-1)/x]=lim x tend vers 0[(1+x-1)/x]=1

3) a) démontrer que, pour tout réel x, on a e^x >x+1 et que l'égalité n'a lieu que si x=0

e(x)>0 et e est croissante (dérivée=e(x)>0) e^0=1 la courbe de e(x) est au dessus de y=x+1=>e^x>x+1

En x=0 e(x)=1+x, par définition de exp(x)

A toi de prendre le témoin pour vérifier, rédiger et avance, sinon la suite un peu plus tard dans la journée.

b) calculer f'(x) pour tout x réel non nul et determiner la foncttion g telle que ,

pour tout x appartenant a R , f'(x)=(e^x *g(x))/(e^x-1)²

c) donner le tableau de variation de f

4) soient x un réel non nul, et les points M (x;f(x)) M'(-x;f(-x)) de la courbe C

a) demontrer que f(-x)=x/(e^x-1) , puis determiner le coefficient directeur de (MM')

b)on admet que f est derivable en 0 . Que suggere alors le resultat précédent ?

II) La courbe C est la courbe representative de la fonction f(x)=e^x-x

le but de l'exercice est de demontrer qu'il existe deux tangentes à passant par I (1;0)

et preciser ces tangentes

1)A est le point de C d'abcisse a et Ta est la tangente a C en A à C

a) determiner en fonction de a une equation de Ta

b) demontrer que Ta passe pas I si et seulement si e^a(2-a)=1(E)

2)on note g la fonction definie sur R pas g(x)=e^x(2-x)

a) etudier les variations de g et dresser son tableau de variation

b) demontrer que l'equation g(x)=1 a exactement deux solutions notées alpha et beta

c)donner de alpha et de beta une valeur aprochée par excès à 0.1 près

d) conclure

voila merci d'avance pour l'aide que vous pouvez m'apporter

[mathiew]

merci j'ai réussi avec ce que vous m'avez donné pour la première partie pouvez vous m'aider pour la suite sil vous plait