Algorithme

[As']

A Noël , les parents de Tao souhaitent lui donner davantage d'argent de poche .

Ils lui font la proposition suivant : " On discutera encore de ce qu'on te donnera en janvier mais chaque moi suivant nous te donnerons la moitié de ce que nous et donnions le mois précédent plus 10 € "

Avant d'accepter , Tao veut tester l'algorithme de calcul suivant jusqu'en juin .

Il nomme x l'argent de poche qu'il pourrait avoir au mois de janvier .

Voici l'algorithme :

Entrée : Le réel positif x

Traitement : Répéter 5 fois ,

Affecter à x le nombre 1/2x+10

Sortie : Afficher x

a _ faire fonctionner cet algorithme avec x = 4 ; x = 16 ; et x = 40.

b - Montrer que le montant d'argent de poche de Tao pour le mois de Juin peut s'exprimer pas :

f(x)= 1/32x + 19.375

c - en déduire pour quelles valeurs de x l'argent de poche du mois de juin sera supérieur à celui du mois de Janvier .

[Barbidoux]

0.....Janvier x

1......Février x/2+10

2......Mars x/4+10/2+10 =x/2^2+10*(1+1/2)

3......Avril x/8+10/4+10/2+10=x/2^3+10*(1+1/2)

................

n.............. x/2^n+10*(1+1/2+1/4+.......1/n)

La série (1+1/2+1/4+.......1/n) est la somme d'une suite géométrique de raison 1/2 et vaut 2*(1-1/2^n)

f(x,n)=x/2^n+20*(1-1/2^n)

Pour le mois de juin n=5

f(x,5)=x/32+155/8

f(4,5)=19,5

f(16,5)=19,875

f(40,5)=20,625

-------------

f(x,5) > x ==> x/32+155/8>x ==> 155/8 >31*x/32 ==>20 > x

Pour x <20 l'argent de poche du mois de juin sera supérieur à celui du mois de Janvier