Dérivations

[Marabou]

Bonjour, j'ai un exercice de maths où je bloque et j'aimerais un peu d'aide !

X -Infini -2 -1 0 +Infini

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f'(x) - 0 + || + 0 -

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f(x) +Infini déc.9 cro.+Infini ||-Infini Cro.1 dec -Infini

Cro. = Croissante jusqu'a ...

Déc. = Décroissante jusqu'a ...

La fonction f est de la forme: f(x) = ax + b + (c/x+1)où a,b et c sont des constantes réelles.

1/ Déterminer la dérivée de f'(x)

2/Trouver les coefficients a, b et c en utilisant les données ci-dessus (on trouvera: a = c = -2 et b=3) ).

3/Soit la droite Δ d'équation y = -2x+3 . Étudier la position de C par rapport à Δ.

4 Soit A le point de C d'abscisse 1 et (T) la tangente à C en A. Déterminer une équation de (T). Montrer qu'il existe un autre

point B de C où la tangente à C est parallèle à (T) .

Merci !

Marabou

[Barbidoux]

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f(x)=a*x+b+c/(1+x)

f'(x)=a-c/(1+x)^2

Dans le tableau on lit : f'(0)=0 ==> a-c= ==> a=c

f(-2)=9=-2*a+b-a=-3*a+b =-4*a+b+a=-4*a+1 ==> a=-2 et b=3

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f(x)=-2*x+3-2/(x+1)

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f(x)-(-2*x+3)=-2/(x+1) >0 pour x<-1 et <0 pour x>-1 donc le graphe de f(x) est au dessus de celui de y pour x<-1 et au dessous pour x >-1.

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Equation de la tangente au graphe de f(x) au point d'abscisse 1

y=f'(1)*(x-1)+f(1)

f'(x)=-2+2/(x+1)^2 ==> f'(1)=-2+2/4=-3/2

f(1)=-2+3-2/2=0 ==> y=-(3/2)*(x-1)=(-3*x+3)/2

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L'autre point de tangence est tels que f'(b)=f'(1) ==> -2+2/(b+1))^2=-3/2 ==> b=-3 et l'équation de la tangente est donc y1=-(3/2)*(x+3)-f(-3) et comme f(-3)=10 ==> y1=-(3/2)*(x+3)+10=(-3*x+11)/2