Fonctions

[Fabio56]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice où je bloque complètement:

Soit f la fonction définie ]0 ; + Infini[ par f(x) = 1/x + 1/(Racine de x).

1/ Déterminer le sens de variation de f sur ] 0 ; + infini[ .

Tracer la courbe C représentative de f, dans un repère orthonormal ( O, I, J) d'unité graphique 1 cm.

2/ Calculer f(2) et f(3)

et Dire pourquoi l'équation f(x) = 1 admet une seule solution dans ]0 ; + infini[ notée Alpha.

Déterminer un encadrement de Alpha d'amplitude 10^-2(à l'aide de la calculatrice).

3/ Tracer, dans le même repère, la droite D d'équation y = 2x.

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < ou = à 2x .

4/ Soit g la fonction définie sur ]0 ; + infini[ par g(x) = f(x) - 2x .

Quel est le sens de variation de la fonction g ?

Quel est le signe de g(x) ?

En vous remerçiant d'avance !

Fabio56

[Barbidoux]

Soit f la fonction définie ]0 ; + Infini[ par f(x) = 1/x + 1/(Racine de x).

1/ Déterminer le sens de variation de f sur ] 0 ; + infini[ .

Tracer la courbe C représentative de f, dans un repère orthonormal ( O, I, J) d'unité graphique 1 cm.

f’(x)=-1/x^2-1/(2*x^(3/2))<0 sur l’intervalle de définition de la fonction donc fonction décroissante

2/ Calculer f(2) et f(3)

et Dire pourquoi l'équation f(x) = 1 admet une seule solution dans ]0 ; + infini[ notée Alpha.

Déterminer un encadrement de Alpha d'amplitude 10^-2(à l'aide de la calculatrice).

f(2)= 1,207et f(3) = 0,910. La fonction f(x) étant décroissante le grahe de f(x) coupe la droite y=1 en un seul point solution de f(x)=1.

La solution x₀ de f(x)=1 se calcule par dichotomie et vaut 2,617<x₀ <2,619

3/ Tracer, dans le même repère, la droite D d'équation y = 2x.

Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < ou = à 2x .

4/ Soit g la fonction définie sur ]0 ; + infini[ par g(x) = f(x) - 2x .

Quel est le sens de variation de la fonction g ?

Quel est le signe de g(x) ?

g’(x)=-1/x^2-1/(2*x^(3/2))-2<0 sur l’intervalle de définition de la fonction donc fonction décroissante.

Pour x=1 f(x)=2 et g(x)=0 la fonction g(x) est donc >0 sur ]0, 1[ et <0 sur ]1, [