[Terminale] [Spé Maths] Arithmétiques

[shahir]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice sur la division euclidienne :

Soient a et b deux entiers naturels, a>b.

Dans la division euclidienne de a par b, on obtient q pour quotient et r pour reste.

1/ Démontrer que le dividende est strictement supérieur au double du reste.

2/ Quel peut-être le reste de la division de a + 1 par b ?

3/ Soit n un entier naturel.

La division euclidienne de a + n par b donne q comme quotient.

Quelles sont les valeurs possibles de n ?

Réponses :

1/ a et b deux entiers naturels, a>b. donc q>=1

tu as q>=1 et b>r, produit membre à membre de nombres positifs bq>r donc bq+r>2r

a>2r

Le dividende est bien strictement supérieur au double du reste.

2/ 1 = b * q + r +1

si r+1<b , alors le reste de la division de a + 1 par b est r +1.

si r+1=b , alors le reste de la division de a + 1 par b est 0.

si r+1>b , alors le reste de la division de a + 1 par b est

Hésitation :

- Soit impossible car r<b et b naturel.

- Soit r car r<b

je penche plus vers la 1ère proposition car je ne trouve pas de cas pour la deuxième proposition.

3/ Si n = 0 alors a = bq + r

si n différent de 0 alors a + n = bq + r +n

avec :

si r+n<b , alors le reste de la division de a + n par b est r + n.

si r+n=b , alors le reste de la division de a + n par b est 0.

si r+n>b , alors le reste de la division de a + n par b est r (car r<b)

Je ne sais pas si j'ai répondu à la question...

Merci d'avance

[Barbidoux]

Exercice 2

1----------------

J’aurais répondu :

a=b*q+r et d’évidence r< bq ==> 2*r< bq+r ==> 2*r< a

2----------------

a, b, r appartenant à N avec a=b*q+r ==> b>r ==> b>= r+1

Comme a+1=b*q+r+1

soit r=0 si r+1=b soit reste r+1 si b>r+1

3----------------

a+n=b*q+r+n ==> r+n< b ==> n< b-r ==> n appartient à [0,....,b-r-1]

4----------------