Dm Seconde

Can_diice · le 18 septembre 2010

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Bonjour, j'ai un dm à rendre pour mercredi.

Pourriez vous vérifier les réponses que j'ai déjà trouvées et m'aider pour les questions ou je bloque ?

Merci beaucoup d'avance

Exercice 1 :

2) a- La médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu du segment en lui étant perpendiculaire.

Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de centre O et de rayon R. Dans un cercle circonscrit, le centre du cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle inscrit.

Comme O est le centre du cercle et que les droites (OJ), (OI) et (OK) se coupent au point O, la droite (OJ) est perpendiculaire à (AC)

J étant le symétrique de O par rapport à B', B' est le milieu de [AC].

Donc (AC) est la médiatrice de (OJ).

b- Un point M appartenant à la médiatrice du segment [AB] est équidistant de A et B.

J appartient à la médiatrice de [AC] donc J est équidistant de A et C donc AJ=JC. Par contre, comment prouver que c'est égal au rayon ?

c- (AB) et (BC) sont les médiatrices respectives de [Ok] et [OI] puisque O, centre du cercle circonscrit à ABC, est le point de concours des droites (OI), (OJ) et (OK) et K et I étant les symétriques de O par rapport à respectivement C' et A'.

K est donc équidistant de A et B et I est équidistant de B et C. On sait déjà que J est équidistant de A et C.

Donc AK = KB = BI = IC = CJ = JA

Les triangles AKJ, BKI, et CIJ sont donc isocèles puisqu'ils ont deux côtés égaux : [AJ] et [AK] pour le triangle AKJ, [bK] et [bI] pour le triangle BKI et [CI] et [CJ] pour le triangle CIJ.

3) Pour cette question, je ne vois pas comment faire. J'ai pensé à Thalès (réciproque), mais je ne sais pas dans quels triangles me placer.

4) a- Je ne vois pas non plus pour cette question.

b- Idem

5- Idem

Exercice 2

1) a- Pour prouver que ABD est rectangle, il faut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.

AD = racine carrée(xa-xd)² + (ya-yd)² = racine carrée(-1-(-1))² + (5-0)² = racine carrée5² = racinecarrée25 = 5

AB = racinecarrée(xa-xb)² + (ya-yb)² = racinecarrée(-1-11)² + (5-0)² = racinecarrée(-12)² + 5² = racinecarrée144+25 = racinecarrée169 = 13

BD = racinecarrée(xb-xd)² + (yb-yd)² = racinecarrée(11-(-1))² + (0-0)² = racinecarrée12² = racinecarrée144 = 12

AB² = 13² = 169

AD²+BD² = 5²+12² = 25+144 = 169

AB² = AD²+BD² donc le triangle ABD est rectangle en D.

b- On utilise la trigonométrie dans le triangle rectangle ABD

On utilise la formule du sinus.

sinDAB = opposé/hypoténuse = BD/AB = 12/13

DAB =environ 67°

2) xM = (xa+xb)/2 = -1+11/2 = 10/2 = 5

ym = (ya+yb)/2 = 5+0/2 = 5/2 = 2.5

Donc M (5;2.5)

Pour le reste de l'exo, je ne vois pas comment faire...

Merci !

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Numériser0001.pdf

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

Bonjour,

2)

a)

J est le sym de O par rappor à (AC) donc :

(AC) est perpendiculaire à [OJ] en son milieu

donc (AC) est la médiatrice de [OJ]

ce qui implique que AJ=AO=R ( voir explication soulignée en b) à mettre ici.)

b)

Mais B' est le milieu de [AC] et (JO) est ppd à (AC) donc :

(JO) est la médiatrice de [AC].

Tout point situé sur la média d'un segment est équidisatnt des extrémités de ce segment.

Donc : JA=JC

Mais JA=OA d'après le a)

Donc :

AJ=JC=R

J'envoie ça déjà.

2)

c)

Les mêmes démonstrations montreraient que (inutile de refaire les démonstrations) :

(AB) est média de [OK] donc :

AO=AK=R

puis que : KA=KB

donc que :

KA=KB=R

Puis on montrerait que :

(BC) est média de [OI] donc :

OC=OB=R

puis que : IC=CB

donc que :

IC=IB=R

Les triangles AKI , BKI et CIJ sont isocèles respectivement en A , B et C car ils ont 2 côtés de même longueur (égale à R).

Can_diice · le 18 septembre 2010

Merci j'ai compris cette partie

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

3)

Désolé , mais je vais la sauter car je ne vois pas comment démontrer que (KJ) //(BC).

Si on y arrive , la même démonstration montrerait que :

(KI) // (AC)

et

(IJ) // (AB) : ce serait inutile de refaire 2 nouvelles démonstrations. Qq. d'autre que moi le montrera sûrement si je ne trouve pas.

Ceci n'empêche pas de faire la suite.

4)

a) (OI) est ppd à (BC) car (OI) médiatrice de [bC].

(BC) // (KJ) d'après la 3)

Si 2 droites sont // , tout ppd à l'une est ppd à l'autre.

Donc :

(OI) ppd (KJ)

Donc (I O) est la hauteur issue de I dans le tri IJK.

De même , on aurait montré en 3 ) que (KI)//(AC)

mais (OJ) est ppd à (AC) car (OJ) médiatrice de [AC].

Donc (OJ) ppd (KI)

Donc (JO) est la hauteur issue du point J dans le triangle IJK.

Donc :

(JO) et (OI) sont 2 hauteurs du triangle IJK .

Donc :

O est l'orthocentre du triangle IJK.

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

5) La hauteur issue de A dans le triangle ABC est ppd à (BC) mais comme (BC) // (KJ), cette hauteur est aussi ppd à (KJ).

Comme le tri AKJ est isocèle en A, cette hauteur issue de A est donc médiatrice de (KJ).

La hauteur issue de B dans le triangle ABC est ppd à (AC) mais comme (AC) // (KI), cette hauteur est aussi ppd à (KI).

Comme le tri BKI est isocèle en B, cette hauteur issue de B est donc médiatrice de (KI).

Deux hauteurs du triangle ABC sont donc 2 médiatrices du tri IJK.

Donc :

L’orthocentre de ABC est centre du cercle circonscrit de IJK.

Can_diice · le 18 septembre 2010

J'ai compris jusque ici

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

Exo 2 :

1)

a)

A et D ont même abscisse donc (AD) est // à l'axe des x et D et B sont sur l'axe des x :

donc (AD) ppd (BD)

Et le triangle …

b)

DB=11-(-1)=12

DA=5-0=5

Tan DAB=12/5

Tu utilises tan-1 de la calculatrice :

Angle DAB = 67° à un degré près.

2)

xM=(xA+xB)/2 et idem pour yM.

Tu le fais.

3)

ADB est rectangle en D donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse : c'est M.

Il faut montrer que MC=MB ( par exemple)

Donc montrer que : MC²=MB²

Or :

MC²=(xC-xM)² + (yC-yM)²

Même technique pour MB².

Tu trouves : MC²=6.25 et MB²=6.25

Tu conclus.

4)

A est le milieu de [FB]

Donc : xA=(xF+xB)/2 soit : xF+xB=2*xA soit xF=2xA-xB

On remplace par les valeurs : xF=2(-1)-11=-13

Même technique pour yF.

5)

On va écrire que vect AD=vect BE

Coordonnées de vect AD(-1-(-1) ;0-5) soit vect AD(0 ;-5)

Soit le point E(x ;y)

Vect BE(x-11 ;y-0) soit vect BE(x-11;y)

L'égalité des 2 vect donne :

x-11=0 soit x=….

y=..

Donc E(.. ;…)

Bon courage pour tout.

A+

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

Je lis tjrs trop vite ce qu'envoient les élèves et j'ai cliqué sur ton énoncé sans voir que tu avais donné des réponses qui sont sûrement bonnes mais bon, tu compareras avec les miennes.

Hélas, j'abandonne pour la 3) de l'exo 1 .

Tu parles de la réciproque de Thalès ? Je ne crois vraiment pas.

On a : JC=BK=R

Si on pouvait montrer que JK=CB, on auarit démontrer que le quadrilatère JKBC est un parallélo car il a ses côtés égaux 2 à 2.

Donc (JK)//(BC).

Mais je ne vois pas comment montrer que JK=CB

Bon après-midi.

Can_diice · le 18 septembre 2010

Merci.

Par contre, je n'ai pas appris ce qu'étaient les vecteurs, donc n'y a t il pas un autre moyen ?

J'avais aussi pensé à montrer que JKBC était un parallélogramme, mais je ne sais pas comment.

Can_diice · le 18 septembre 2010

Je pense avoir trouvé la solution pour la question 5 du 2e exercice :

ABED devant être un parallélogramme, on a AB = DE =13 et AD = BE = 5

(BE) devant être parallèle à (AD), xe = 11

BE = racinecarree(xb-xe)²+(yb-ye)² = 5

BE = racinecarrée (11-11)² + (0-ye)² = 5

BE = racinecarre (0-ye)² = 5

BE = -ye = 5

Donc ye = -5

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

Exo 2 :

5) Ok mais c'est bcp plus rapide avec les vecteurs . Je fais un copier-coller et je termine mon message de 10 h 47 :

On va écrire que vect AD=vect BE

Coordonnées de vect AD(-1-(-1) ;0-5) soit vect AD(0 ;-5)

Soit le point E(x ;y)

Vect BE(x-11 ;y-0) soit vect BE(x-11;y)

L'égalité des 2 vect donne :

x-11=0 soit x=11

y=-5

Donc E(11 ;-5)

A+

Boltzmann_Solver · le 18 septembre 2010

Bonjour à tout les deux,

Pour la question qui pose problème à Papy Bernie. Rapidement (donc, rédaction à préciser).

Dans le triangle ABC

C' milieu de [AC]

B' milieu de [AC]

D'après le théorème des milieux, [bC] //[C'B'].

Enfin, I est le symétrique centrale de B' et J celui de C'.

Or, la symétrie centrale conserve les distances et les angles, donc, [C'B'] // [JK].

Conclusion, [bC] // [JK]. CQFD.

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

Bonjour boltzmann,

et merci pour cette démonstration : ma figure était si encombrée que je ne voyais plus clair !!

Et on peut montrer que :

(B'C') // (JK)

en utilisant aussi le th. de la droite des milieux dans le triangle JOK.

Volià Candice sauvée !

Can_diice · le 18 septembre 2010

Merci beaucoup pour votre aide. Moi non plus, je ne voyais plus rien sur mon dessin ^^

voilà la rédaction que j'ai faite : est-ce correct ?

Dans le triangle ABC, C' est le milieu de [AB] et B' et le milieu de [AC].

D'après le théorème de la droite des milieux, (B'C')//(BC).

J étant le symétrique de O par rapport à B' et K étant le symétrique de O par rapport à C', et comme la symétrie centrale conserve les angles et les distances, on a (C'B')//(JK).

Deux droites qui sont parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

(B'C')//(BC)

(B'C')//'JK)

Donc (BC)//(JK)

Papy BERNIE · le 18 septembre 2010

Moi, je garderai le début de ta démonstration qui est :

Dans le triangle ABC, C' est le milieu de [AB] et B' et le milieu de [AC].

D'après le théorème de la droite des milieux, (B'C')//(BC).

Puis je continuerai ainsi :

Dans le triangle JOK, C' est le milieu de [AB] et B' et le milieu de [AC].

D'après le théorème de la droite des milieux, (B'C')//(JK)

Deux droites qui sont parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

Donc d'après ce qui est souligné : (BC) // (JK)

C'est plus court.

Can_diice · le 18 septembre 2010

Merci beaucoup, c'est vrai que c'est plus simple.

J'ai compris tout le DM

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