Résolution Graphique D'une Équation Du Second Degré 1°S

[Anyssa]

Bonjour, voilà le sujet :

Les courbes d'équation y=ax² sont appelées paraboles. Le but de l'activité est de montrer que la courbe représentative de tout trinôme est une parabole.

L'idée est de trouver le bon repère dans lequel l'équation s'écrira sous la forme Y=aX².

Les réponses doivent être soigneusement rédigées.

1) Un cas particulier : f est la fonction trinôme définie par f(x)= x²+2x-3.

Tracer sa représentation graphique sur la calculatrice. Donner la forme canonique de f.

L'allure de la courbe semble celle d'une parabole construite dans un repère d'origine le sommet de la parabole : A(-1;-4).

Considérons le repère ( A, vecteur i, vecteur j) : un point M qui a pour coordonnées (x,y) dans ( O,vecteur i , vecteur j ), aura pour coordonnées ( X, Y ) dans le repère ( A, vecteur i, vecteur j ) .

La relation de Chasles vecteur OM= vecteur OA + vecteur AM permet de déduire en passant aux coordonnées : x= -1 + X et y = -4 +Y.

En déduire l'équation de la courbe dans le repère ( A, vecteur i, vecteur j ). Conclure.

2) Cas génaral : Appelons C la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = ax²+ bx + c ( a,b,c des réels et a different de 0 ) dans le repère ( O, vecteur i, vecteur j ).

Donner la forme canonique de f, en déduire les coordonnées de A, l'origine du repère dans lequel l'équation de la courbe s'écrira Y=X². Vérifier que dans ( A, vecteur i , vecteur j ), l'equation de la courbe devient celle d'une parabole.

3) Retrouver par la méthode graphique les solutions des équations ci-dessous.

2x²+3x-14=0

x²+3x+1 = 0

x²+ 4x + 5 = 0

J'ai juste réussit le 1), aprés pour le 2) j'arrive pas à démontrer j'ai essaiyer depuis la relation de Chasles mais sa donne pas grand chose :

1) a[(x+b/2a)²-(b²-4ac)/4a] est la forme canonique du trinome ax²+bx+c, donc :

1[(x+2/2)²-(2²-4*(-3))/4]

= ( x+1)²-(4+12)/4

=(x+1)²-4

(x+1)² -4 est la forme canonique de f(x)=x²+2x-3

y=(x+1)²-4 ssi -4+Y=(-1+X+1)²-4 ssi Y=X²-4+4 ssi Y=X²

Dans le repère (A; vecteur i ; vecteur j ) l'équation de la courbe est Y=X²

J'en conclus donc qu'il s'agit du bon repère où l'équation s'écrit Y=aX² ( ici Y=X² )

Donc la courbe représentative de f(x) est une parabole.

2) La je suis pas sur du tout, j'ai commencé comme sa :

On sait que vecteur OM= vecteur OA+ vecteur AM

donc : ( 0+x; 0+y)=(0+xa;0+Ya)+(xa+x;ya+y)

ssi (x;y)=(xa;ya)+(X;Y)

Merci

[Barbidoux]

1---------------------

f(x)=x^2+2*x-3 =x^2+2*x+1-4=(x+1)^2-4

On pose Y=y+4 et X=x+1 ==> et alors Y=X^2. Parabole passant par l’origine du système d’axe passant par le point A{-1,-4}

2----------------------------

y=a*x^2+b*x+c

y= a*(x^2+(b/a)*x+c/a)

y=a*(x^2+(b/a)*x+(b/(2a))^2-(b/(2a))^2+c/a)

y=a*((x+(b/a))^2*-(b^2-4*ac)/(4a^2))

y+(b^2-4*ac)/(4a)=a*(x+(b/a))^2

on pose

y+(b^2-4*ac)/(4a)=Y

x+(b/a)=X

ce qui conduit à Y=a*X^2 parabole passant par l’origine du système d’axe d’origine A{-b/*a , -(b^2-4*ac)/(4a)}

Dans ce système d’axes a étant >0 si le sommet A de la parabole est située en dessous de l’axes des abscisses c’est à dire si -(b^2-4*ac)/(4a) <0 alors la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points dont les abscisses sont solutions de a*x^2+b*x+c =0.

Si par contre a<0 il faut que le sommet A de la parabole soit située au dessus de l’axes des abscisses ce qui corespond à -(b^2-4*ac)/(4a) >0 dans ce cas pour que son graphe coupe l’axe des abscisses en deux points dont les abscisses sont solutions de a*x^2+b*x+c =0

3----------------------

2*x^2+3*x-14=0 ==> 2*((x+3/4)^2-(3/4)^2+7)=0

==> 2*((x+3/4)^2-(9/16)+7)=0

==> 2*((x+3/4)^2-(121/16)=0

Coordonnées du sommet A de la parabole f(x)=2*((x+3/4)^2-(121/16)

A{-3/4, -121/8} le graphe de f(x) coupe l’axe des abscisse en deux points ==> donc f(x)=0 a deux solutions réelles.

==> 2*((x+3/4)^2-(11/4)^2=0

==> 2*(x+3/4+11/4)*(x+3/4-11/4)=0

==> 2*(x+7/2)*(x-2)=0 solutions x=-2 et x=7/2

---------

x^2+3*x+1=0

==> (x+3/2)^2+1-9/4=(x+3/2)^2-5/4=0

Coordonnées du sommet A de la parabole f(x)=(x+3/2)^2-5/4

A{-3/2, -5/4} le graphe de f(x) coupe l’axe des abscisse en deux points ==> donc f(x)=0 a deux solutions réelles.

==> (x+3/2+√5/2)(x+3/2-√5/2)=0 ==> solutions x=-(3+√5)/2 et x=(-3+√5)/2

---------

x^2+4*x+5=(x+2)^2-4+5=0

(x+2)^2+1=0

Coordonnées du sommet A de la parabole f(x)=(x+2)^2+1

A{-2, -1} le graphe de f(x) ne coupe pas l’axe des abscisse donc f(x)=0 n’a pas de solutions réelles.

[Anyssa]

Merci =)

[Anyssa]

Par contre pour la derniere équation, je trouve pas sa pour l'ordonnée de A je trouve 1 moi.

-(4²-20)/4

-(16-20)/4

-(-4)/4

4/4

1

[Papy BERNIE]

Bonjour,

Barbidoux n'ayant pas l'air d'être là ce dimanche, je me permets de te répondre. Il a fait une faute de frappe, ce qui arrive aux meilleurs .

C'est bien A(-2;1).