Exercice Fontions.

[Haika]

Bonsoir.

Voilà, j'ai un petit exercice d'entraînement à faire sur les fonctions, et j'aurais donc besoin d'une correction et de l'aide pour quelques questions, merci d'avance .

On considère la fonction u définie sur l'intervalle ]O,+l'infini[ par :

U(x) = 10-x / x

1] Calculer les limites de u en O et en + l'infini.

Lim u(x)= ?

x-> O

lim 10-0 / 0 = 10

x-> O

Donc, lim u(x)= 10

X -> O

Lim u(x) = ?

x-> + l'infi

lim 10 –x/ x = + l'infini

Je l'ai fait à la calculatrice mais je n'arrive pas à prouver pourquoi:/

On ne doit pas prendre,

x/x = … ?

2] Etudier les variations de u.

U est dérivable comme quotient de fonctions dérivables.

U(x) = u/v -> u'(x) = u'v – uv' / v²

U(x) = 10 –x -> u'(x) = -1

V(x) = x -> v'(x) = 1

U'(x) = -1x – (10-x)*1 / x²

U'x)= -1x – 10 +x / x²

U'(x) = - 1O / x²

X² est toujours strict supérieur à 0, puisqu'un carré est toujours positif.

-10 est une constante négative donc -10 < 0, alors par quotient, u'(x) < 0 sur le Df et u(x) est strictement négative.

X | 0 + l'inf |

X² | + |

-10 | - |

u'(x) | - |

u(x) | Décroiss |

[ Désolée, pour la différence d'écriture, mais j'avais commencé à l'écrire sur Word ]

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0, + l'infinie[ par :

f(x) = e^u(x)

3] Calculer les limites de f en 0 et en + l'infini. Quelles sont les conséquences graphiques peut on en déduire ?

f(x) = ?

x -> 0

Comment faire puisque l'on a pas de limite en O pour e^x ?

On ne met pas dans ce cas, lim (x ->0) e^x = O+ ( Désolée, je ne me souviens plus trop, j'ai regardé dans mes bouquins mais je n'ai trouvé d'exemple :/)

f(x)= ?

x - > + l'inf

lim e^x = + l'inf

x-> + l'inf

lim 10-x / x = + l'infi

Donc lim f(x) = + l'infi

x -> + l'infi.

4] Etablir, en justifiant, le tableau de variations de f.

u(x)= e^10-x / x

u'(x) = u'(x)e^u(x)

u(x) = 10 - x / x u'(x) = -10/x²

Donc, u'(x) = -10 / x²e^10-x /x

A partir d'ici, je sais que e^x est stric supérieur à 0.

Mais après je dois le prouver avec -10/x² et 10-x / x ?

5] Résoudre algébriquement l'équation f(x) = 1.

Bon, je dois avouer que le quotient me gène, je ne sais pas trop comment procéder, j'ai essayé quelque chose en suivant un exemple, mais je doute que ce soit ça.

e^10-x /x = 1

e^10-x /x = e^O

10-x / x = 0

10 = 0

x = - 10

6] L'équation f(x)= -x admet elle une solution ? Pourquoi ?

Là , je sèche :/

Merci d'avance de votre aide

[Haika]

Je crois que j'ai trouvé une erreur pour les limites, donc :

1] Calculer les limites de u en O et en + l'infini.

lim u(x)= 10-x / x

x -> O

lim 10 - x = 10

x -> 0

lim x = O

x -> O

Donc lim 10 - x / x = + l'infini.

x -> O

lim 10 - x / x = lim - x / x = -1

x -> + l'infi

Donc lim 10 - x / x = - 1

x -> + l'infini.

[Barbidoux]

On considère la fonction u définie sur l'intervalle ]0,+l'infini[ par :

U(x) = 10-x / x

Je pense qu’il s’agit de la fonction U(x)=(10-x)/x car U(x)=10-x/x=10-1=9 est une fonction constante

1] Calculer les limites de U(x) en 0 et en + l'infini.

Lorsque x->0 alors 10 >> x et f(x) 10/x -> +

Lorsque x-> :infni: alors 10 << x et f(x) -x/x ->-1

2] Etudier les variations de u.

U’(x)=-(10 - x)/x^2 - 1/x=-10/x^2 <0 qq soit x et le fonction U(x) est décroissante sur son intervalle de définition

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0, + l'infinie[ par :

f(x) = e^u(x)

3] Calculer les limites de f en 0 et en + l'infini. Quelles sont les conséquences graphiques peut on en déduire ?

Lorsque x->0 U(x)-> ==> f(x) ->

Lorsque x-> U(x)-> -1i: ==> f(x) -> expr(-1)=1/e

4] Etablir, en justifiant, le tableau de variations de f.

exp(u) croit avec la valeur de u ==> exp(u) decroit lorsque u décroit[

5] Résoudre algébriquement l'équation f(x) = 1.

f(x)=1 ==> ln(f(x))=0 ==> (10-x)/x=0 ==> x=10

6] L'équation f(x)= -x admet elle une solution ? Pourquoi ?

L’exponentielle d’un nombre u est positive donc f(x)= -x avec x appartenant à R^(+) n’admet pas de solution réelle.

[Haika]

D'accord

Merci beaucoup Barbidoux.

C'est bien (10 -x) / x, comme dans l'exo il n'y avait pas de parenthèses, je n'ai pas pensé que ça ne pouvait pas être clair