Barycentre

[didchou]

il existe un point unique G barycentre de (A,alpha)(B,beta) et (C,gamma) si alpha+beta+gamma est différent de 0 qui vérifie vectalphaGA+vectbetaGB+vectgammaGC=vect0

voila ce que j'ai comme définition

[Boltzmann_Solver]

il existe un point unique G barycentre de (A,alpha)(B,beta) et (C,gamma) si alpha+beta+gamma est différent de 0 qui vérifie vectalphaGA+vectbetaGB+vectgammaGC=vect0

voila ce que j'ai comme définition

[didchou]

a.alphavectKA+betavectKB+gammavectKC=vect0

alpha+beta+gamma=1+1-1=1 donc K existe

alphavectKA+betavectKB+gammavectKC=vect0 > vectKA+vectKB-vectKC=vect0 > vectKA+vectKA+vectAB-vectKA-vectAC=vect0 >

vectKA+vectAB-vectAC=vect0 > vectAB-vectAC=vectAK

[Boltzmann_Solver]

a.alphavectKA+betavectKB+gammavectKC=vect0

alpha+beta+gamma=1+1-1=1 donc K existe

alphavectKA+betavectKB+gammavectKC=vect0 > vectKA+vectKB-vectKC=vect0 > vectKA+vectKA+vectAB-vectKA-vectAC=vect0 >

vectKA+vectAB-vectAC=vect0 > vectAB-vectAC=vectAK

[Boltzmann_Solver]

Exo :

1)

On sait que I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] par propriété du parallélogramme.

Or, d'après le Théorème des milieux, on peut affirmer que (IJ) // (BC) et que IJ = 1/2*BC.

En conséquence, on a vect(IJ) = 1/2*vect(BC).

Dans le sablier IJGBC, (IJ) // (BC) et IJ = BC/2. Donc d'après le théorème de Thalès,

IJ/BC = GI/GC => 2*GI = GC.

Or, IGC sont alignés donc, 2*vect(GI)+vect(GC) = vect(0).

Pour finir, I est le milieu de [AB], donc vect(IA)+vect(IB) = vect(0). Donc,

vect(GI) + vect(IA) + vect(GI) + vect(IB) + vect(GC) = 2*vect(0) = vect(0). Et par application de Chasles en I, on arrive à,

vect(GA)+vect(GB)+vect(GC) = vect(0) => G est l'isobarycentre du triangle ABC.

2) K est le barycentre de {(A,1);(B,1);(C,-1)} => vect(KA)+vect(KA)-vect(KC) = vect(0). Par application de Chasles en A sur les deux derniers, on a arrive à,

vect(KA) + vect(AB)-vect(AC) = vect(0) => vect(AK) = vect(AB)-vect(AC).

Ton construction est correcte

b) K est le barycentre de {(A,1);(B,1);(C,-1)}. Par associativité, on peut dire aussi que C = bary{(C,-1)} = bary{(C,1);(C,-2)}. Donc, toujours par l'associativité, on peut dire que K = bary{(A,1);(B,1);(C,1);(C,-2)} = bary{(G,1+1+1);(C,-2)} = bary{(G,3);(C,-2)}. CQFD

3)a) D'après 2)b), 3*vect(KG) - 2*vect(KC) = vect(0). Par Chasles en A, on a : 3*vect(KA) + 3*vect(AG) - 2*vect(KA) - 2*vect(AC) = vect(0) => vect(KA) + 3*vect(AG) - 2*vect(AC) = vect(0).

De plus, d'après 2)a), vect(AK) = vect(AB) - vact(AC) = vect(AB) - vect(AB) - vect(BC) = -vect(BC) =-vect(AD) (car ABCD parallélogramme). Donc, vect(KA) = vect(AD).

On arrive à, vect(AD) + 3*vect(AG) - 2*vect(AC) = vect(0). => A = bary{(G,3);(C,-2);(D,1)}. CQFD.

b) Par associativité, on a, A = bary{(G,3);(C,-2);(D,1)} = A = bary{(K,3-2);(D,1)} = bary{(K,1);(D,1)}. Donc A est la milieu de [KD].

4) En utilisant le résultat 3)b) et Chasles en A, on a,

vect(MD) + 3*vect(MG) - 2*vect(MC) = 2*vect(MA) + vect(0)

Et en utilisant la définition de I, et Chasles en I,

vect(MA)+vect(MB) = 2*vect(MI)

Donc, ||vect(MD) + 3*vect(MG) - 2*vect(MC)|| = ||vect(MA)+vect(MB)|| => 2||vect(MA)|| = 2*||vect(MI)|| => MA = MI => M = {Médiatrice de [AI]}

Si j'ai le courage, je te montrerai ma méthode en utilisant un repère non orthogonale demain.

Voilou ! De la lecture.

[Boltzmann_Solver]

Rajout, j'ai mal lu l'énoncé et il faut partir de 1) (Mais ma correction n'est pas fondamentalement fausse). Donc, je propose une autre méthode pour 3)a).

D'après 1),

vect(GA)+vect(GB)+vect(GC) = vect(0)

3*vect(GA) + vect(AB) + vect(AC) = vect(0)

3*vect(AG) - vect(AB) - vect(AC) = vect(0)

3*vect(AG) - vect(AC) - vect(CB) - vect(AC) = vect(0)

3*vect(AG) + vect(BC) - 2*vect(AC) = vect(0)

3*vect(AG) + vect(AD) - 2*vect(AC) = vect(0) (vect(BC) = vect(AD) car ABCD est un parallélogramme).

A = bary{(G,3);(D,1);(C,-2)}

CQFD

Edit : J'ai pas détaillé les Chasles. Si tu ne les vois pas, dis le nous.