Dm Maths

[MHD]

J'ai un DM de maths et je ne m'en sors pas. J'étais absent pour les leçons sur fonctions sinus et cosinus...Merci de m'aider.On considère un demi cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.Soit D le point qui se projette orthogonalement en O sur (AB) et M un point quelconque de l'arc DB.On note x la mesure en radians de l'angle MAB.1. Démontrer que x appartient à l'intervalle [0 ; Pi/4].2. Démontrer que l'angle MOB a pour mesure 2x.3.- Soit I le milieu de [AM] et H le projeté orthogonal de M sur [AB]a) démontrer que le triangle AIO est  rectangle b) démontrer  que cos x = AI et cos 2x = OHc) démontrer que AH= AM * Cos x et en déduire que  AH = 2 cos²  x4. Déduire de la question précédente que que pour tout x de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a: cos 2x = 2 cos ² x - 15. Démontrer que MH = sin 2 x et que MH = AM sin x 6. En déduire que pour tout x de de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a : sin 2 x = 2sin x * cos x 7. Applications :a. lorsque x varie dans l'intervalle [0 ; Pi/4]  à quel intervalle appartient cos x ? sin x ?b. On note I l'intervalle [Racine 2 /2 ; 1]  et K l'intervalle [0 ; Racine 2 /2]Les réels suivants (Racine ( racine 2) +2)/ 2 et (Racine 6 - Racine 2) /4 appartiennent-ils à I ou à K ?c. On donne Cos x =  (Racine ( racine 2) +2)/ 2 avec x appartient à [0 ; Pi/4] - Calculez cos 2x  - en déduire que x = Pi / 8d. On donne cos x = (Racine 6 + Racine 2) / 4- Calculer cos 2x - En déduire xVOILA CE QUE J'AI FAIT POUR L'INSTANT. EST-CE QUE C'EST JUSTE ? JE BLOQUE POUR LA SUITE...1- [AB]est un diametre et M appartient à C donc le triangle AMB est rectangle en Mla somme des angles MAB et MBA est pi/2mais comme AM > BM donc x appartient à [0 ; Pi/4]2- les angles au centre  MOB  et MAB interceptent le même arcdonc la mesure de MOB est le double de MAB soit 2x3- a)dans le triangle MAB rectangle en M on a I milieu de [AM] et O milieu de [AB]donc (OI)//(MB) comme (MB) est perpendiculaire à (AM) donc comme 2 droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles : (OI) est perpendiculaire à (AM) donc le triangle AIO est rectangle en Ib)dans le triangle AOI rectangle en Ila mesure de l'angle OAI est x cos(OAI)= cote adjacent/l'hypothenusedonc cosx=AI/AO (AO=1 car c'est un rayon)      cosx=AI/1=AIle triangle OMH est rectangle en H et la mesure de l'angle MOH est 2xCOS(MOH)=OH/OMcos2x=OH/1=OH    (OM est un rayon)c)le triangle AMH est rectangle en H et la mesure de l'angle MAH est x donccos(MAH)=AH/AMcosx=AH/AMdonc AH=AM.cosxEST-CE QUE C'EST JUSTE CE QUE J'AI FAIT ?A PARTIR DE LA JE BLOQUE : en déduire que AH = 2cos²x et la suite..MERCI DE M'AIDER

[MHD]

Rebonjour, quelqu'un peut-il m'aider ? Barbidoux????

[Barbidoux]

On considère un demi cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.Soit D le point qui se projette orthogonalement en O sur (AB) et M un point quelconque de l'arc DB.On note x la mesure en radians de l'angle MAB.1.

Démontrer que x appartient à l'intervalle [0 ; Pi/4].

Un angle inscrit est égal à la moitié de l’angel au centre correspondant. , donc BAM Varie de 0 à la moitié de DOB=Pi/2 soit de 0 à Pi/4.

2. Démontrer que l'angle MOB a pour mesure 2x.

Un angle inscrit est égal à la moitié de l’angel au centre correspondant ==> MOB=2*x

3.- Soit I le milieu de [AM] et H le projeté orthogonal de M sur [AB]

a) démontrer que le triangle AIO est  rectangle

AOM est ioscèle car AO=OM et IO est à la fois sa hauteur et la médiatrice de AM donc perpendiculaire à AM et AIO est un traiangle rectangle en I

b) démontrer  que cos x = AI et cos 2x = OH

AI=AO*Cos(IAO)=AO*Cos(x)=cos(x) car AO=1

c) démontrer que AH= AM * Cos x et en déduire que  AH = 2 cos^2(x)

Dans le triangle AMH rectangle en H ==> AH/AM=Cos(x) ==> AH=AM*Cos(x)=2*AI*Cos(x)=2*cos^2(x).

Dans le traingle rectangle OMH en H ==> Cos(MOH)=cos(2x)=OH/OM=OH

4. Déduire de la question précédente que que pour tout x de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a: cos 2x = 2 cos^2 x - 1

AH=AO+OH=2*cos^2(x)=1+cos^2(x) ==>cos(2x)=2*cos^2(x)-1

5. Démontrer que MH = sin 2 x et que MH = AM sin x

Dans le triangle rectangle OMH en H ==> sin(MOH)=sin(2x)=MH/MO=MH

==>Dans le triangle rectangle AMH en H ==> sin(MAH)=sin(x)=MH/AM==>MH=AM*Sin(x)=2*AI*Sin(x)=2*cos(x)*sin(x)

6. En déduire que pour tout x de de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a : sin 2 x=2sin x *cos x

MH=sin(2*x)=2*cos(x)*sin(x)

7. Applications :

a. lorsque x varie dans l'intervalle [0 ; Pi/4]  à quel intervalle appartient cos x^2 sin x^2

x appatient à [0 ; Pi/4]  cos x^2 appartient à [1/2; 1] et sin x^2 appartient à [0; 1/2]

b. On note I l'intervalle [√2 /2 ; 1]  et K l'intervalle [0 ; √ 2 /2] Les réels suivants √(√2+2)/2 et (√6-√2) /4 appartiennent-ils à I ou à K ?

√(√2+2)/2 appartient à I et √(√6 - √2.)/4 appartient à K

c. On donne Cos x =√ (√2+2)/ 2 avec x appartient à [0 ; Pi/4] - Calculez cos 2x  

cos(2x)=2*cos^2(x)-1=2*(√ (√2+2)/ 2)^2-1=(√2+2)/ 2-1=√2 ==> 2*x=Pi/8 ==> x=Pi/8

- en déduire que x = Pi / 8

d. On donne cos x = (√6 +√2) / 4

- Calculer cos 2x

cos(2x)=2*cos^2(x)-1= 2*((√6 +√2) / 4

)^2-1=√3/2==>2*x=Pi/6

- En déduire x

x=Pi/12

[MHD]

On considère un demi cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.Soit D le point qui se projette orthogonalement en O sur (AB) et M un point quelconque de l'arc DB.On note x la mesure en radians de l'angle MAB.1.

Démontrer que x appartient à l'intervalle [0 ; Pi/4].

Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angel au centre correspondant. , donc  BAM Varie de 0 à la moitié de DOB=Pi/2 soit de 0 à Pi/4.

2. Démontrer que l'angle MOB a pour mesure 2x.

Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angel au centre correspondant ==> MOB=2*x

3.- Soit I le milieu de [AM] et H le projeté orthogonal de M sur [AB]

a) démontrer que le triangle AIO est  rectangle

AOM est ioscèle car AO=OM et IO est à la fois sa hauteur et la médiatrice de AM donc perpendiculaire à AM et AIO est un traiangle rectangle en I

b) démontrer  que cos x = AI et cos 2x = OH

AI=AO*Cos(IAO)=AO*Cos(x)=cos(x) car AO=1

c) démontrer que AH= AM * Cos x et en déduire que  AH = 2 cos^2(x)

Dans le triangle AMH rectangle en H ==> AH/AM=Cos(x) ==> AH=AM*Cos(x)=2*AI*Cos(x)=2*cos^2(x).

Dans le traingle rectangle OMH en H ==> Cos(MOH)=cos(2x)=OH/OM=OH

4. Déduire de la question précédente que que pour tout x de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a: cos 2x = 2 cos^2 x - 1

AH=AO+OH=2*cos^2(x)=1+cos^2(x) ==>cos(2x)=2*cos^2(x)-1

5. Démontrer que MH = sin 2 x et que MH = AM sin x

Dans le triangle rectangle OMH en H ==> sin(MOH)=sin(2x)=MH/MO=MH

==>Dans le triangle rectangle AMH en H ==> sin(MAH)=sin(x)=MH/AM==>MH=AM*Sin(x)=2*AI*Sin(x)=2*cos(x)*sin(x)

6. En déduire que pour tout x de de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a : sin 2 x=2sin x *cos x

MH=sin(2*x)=2*cos(x)*sin(x)

7. Applications :

a. lorsque x varie dans l'intervalle [0 ; Pi/4]  à quel intervalle appartient cos x^2 sin x^2

x appatient à [0 ; Pi/4]  cos x^2 appartient à [1/2; 1] et sin x^2 appartient à [0; 1/2]

b. On note I l'intervalle [√2 /2 ; 1]  et K l'intervalle [0 ; √ 2 /2] Les réels suivants √(√2+2)/2 et (√6-√2) /4 appartiennent-ils à I ou à K ?

√(√2+2)/2 appartient à I et √(√6 - √2.)/4 appartient à K

c. On donne Cos x =√ (√2+2)/ 2 avec x appartient à [0 ; Pi/4] - Calculez cos 2x  

cos(2x)=2*cos^2(x)-1=2*(√ (√2+2)/ 2)^2-1=(√2+2)/ 2-1=√2 ==> 2*x=Pi/8 ==> x=Pi/8

- en déduire que x = Pi / 8

d. On donne cos x = (√6 +√2) / 4

- Calculer cos 2x

cos(2x)=2*cos^2(x)-1= 2*((√6 +√2) / 4

)^2-1=√3/2==>2*x=Pi/6

- En déduire x

x=Pi/12

[MHD]

On considère un demi cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.Soit D le point qui se projette orthogonalement en O sur (AB) et M un point quelconque de l'arc DB.On note x la mesure en radians de l'angle MAB.1.

Démontrer que x appartient à l'intervalle [0 ; Pi/4].

Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angel au centre correspondant. , donc  BAM Varie de 0 à la moitié de DOB=Pi/2 soit de 0 à Pi/4.

2. Démontrer que l'angle MOB a pour mesure 2x.

Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angel au centre correspondant ==> MOB=2*x

3.- Soit I le milieu de [AM] et H le projeté orthogonal de M sur [AB]

a) démontrer que le triangle AIO est  rectangle

AOM est ioscèle car AO=OM et IO est à la fois sa hauteur et la médiatrice de AM donc perpendiculaire à AM et AIO est un traiangle rectangle en I

b) démontrer  que cos x = AI et cos 2x = OH

AI=AO*Cos(IAO)=AO*Cos(x)=cos(x) car AO=1

c) démontrer que AH= AM * Cos x et en déduire que  AH = 2 cos^2(x)

Dans le triangle AMH rectangle en H ==> AH/AM=Cos(x) ==> AH=AM*Cos(x)=2*AI*Cos(x)=2*cos^2(x).

Dans le traingle rectangle OMH en H ==> Cos(MOH)=cos(2x)=OH/OM=OH

4. Déduire de la question précédente que que pour tout x de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a: cos 2x = 2 cos^2 x - 1

AH=AO+OH=2*cos^2(x)=1+cos^2(x) ==>cos(2x)=2*cos^2(x)-1

5. Démontrer que MH = sin 2 x et que MH = AM sin x

Dans le triangle rectangle OMH en H ==> sin(MOH)=sin(2x)=MH/MO=MH

==>Dans le triangle rectangle AMH en H ==> sin(MAH)=sin(x)=MH/AM==>MH=AM*Sin(x)=2*AI*Sin(x)=2*cos(x)*sin(x)

6. En déduire que pour tout x de de l'intervalle [0 ; Pi/4], on a : sin 2 x=2sin x *cos x

MH=sin(2*x)=2*cos(x)*sin(x)

7. Applications :

a. lorsque x varie dans l'intervalle [0 ; Pi/4]  à quel intervalle appartient cos x^2 sin x^2

x appatient à [0 ; Pi/4]  cos x^2 appartient à [1/2; 1] et sin x^2 appartient à [0; 1/2]

b. On note I l'intervalle [√2 /2 ; 1]  et K l'intervalle [0 ; √ 2 /2] Les réels suivants √(√2+2)/2 et (√6-√2) /4 appartiennent-ils à I ou à K ?

√(√2+2)/2 appartient à I et √(√6 - √2.)/4 appartient à K

c. On donne Cos x =√ (√2+2)/ 2 avec x appartient à [0 ; Pi/4] - Calculez cos 2x  

cos(2x)=2*cos^2(x)-1=2*(√ (√2+2)/ 2)^2-1=(√2+2)/ 2-1=√2 ==> 2*x=Pi/8 ==> x=Pi/8

- en déduire que x = Pi / 8

d. On donne cos x = (√6 +√2) / 4

- Calculer cos 2x

cos(2x)=2*cos^2(x)-1= 2*((√6 +√2) / 4

)^2-1=√3/2==>2*x=Pi/6

- En déduire x

x=Pi/12