Exercice De Mathèmatiques

[Chey]

A cause du manque d'oxygène, les truites d'un lac sont en train de disparaitre. Le rythme d'évolution de la population de truites est modélisé par la fonction P' définie par :

P'(t)=-125e^(-t/20)

ou t est le temps en jour

Pour t=0, le nombre de truites s'élève à 2500.

1) Évaluer, a l'unité près, le nombre de truites qui disparaissent entre le 10e et le 20e jour.

2)Determiner P(t), le nombre de truites le t-ième jour.

3) Calculer la valeur moyenne de la population de truites les 30 premiers jours.

4)a) A partir de quel jour la population aura t-elle diminué de moitié ?

b) A partir de quel jour pourra t-on considérer qu'il n'y a plus de truites dans le lac ?

5)a)Etudier le sens de variation de la fonction P sur 0;+inf.

b)Calculer la limite de P en +inf.

Voila ce que j'ai fait :

1) J'ai rentré P'(t) dans la calculatrice, et j'ai additionné toutes les valeurs de P'(10) à P'(20). Mais dans la question le 10e et le 20e jour sont-ils inclus ? Ma méthode est-elle la bonne ?

2)J'ai trouvé P(t)=2500e^(-x/20)

3) J'ai trouvé 1295, mais je ne suis pas sur du tout de mon résultat. J'ai calculé l'intégrale de P(t) entre 0 et 30, que j'ai multiplié par 1/30. Est-ce bien cela qu'il fallait faire ?

4) Je n'ai aucune idée de la méthode a employer. Je peux avoir les résultats sur ma calculatrice mais je ne sais pas les justifier.

5)a)P'(t) est toujours négative donc P(t) est décroissante.

b)J'ai trouvé 0. Est-ce bien ça ?

Merci d'avance à ceux qui m'aideront.

[Barbidoux]

A cause du manque d'oxygène, les truites d'un lac sont en train de disparaitre. Le rythme d'évolution de la population de truites est modélisé par la fonction P' définie par :

P'(t)=-125e^(-t/20)

ou t est le temps en jour

Pour t=0, le nombre de truites s'élève à 2500.

1) Évaluer, a l'unité près, le nombre de truites qui disparaissent entre le 10e et le 20e jour.

2)Determiner P(t), le nombre de truites le t-ième jour.

3) Calculer la valeur moyenne de la population de truites les 30 premiers jours.

4)a) A partir de quel jour la population aura t-elle diminué de moitié ?

b) A partir de quel jour pourra t-on considérer qu'il n'y a plus de truites dans le lac ?

5)a)Etudier le sens de variation de la fonction P sur 0;+inf.

b)Calculer la limite de P en +inf.

Voila ce que j'ai fait :

1) J'ai rentré P'(t) dans la calculatrice, et j'ai additionné toutes les valeurs de P'(10) à P'(20). Mais dans la question le 10e et le 20e jour sont-ils inclus ? J'uarais tendance à répondre non à cause du terme entre le 10e et le 20e jour. J'aurais di ou si la rédaction avait été du 10e et le 20e jour Ma méthode est-elle la bonne ? Oui

2)J'ai trouvé P(t)=2500e^(-x/20) Exact

3) J'ai trouvé 1295, mais je ne suis pas sur du tout de mon résultat. J'ai calculé l'intégrale de P(t) entre 0 et 30, que j'ai multiplié par 1/30. Est-ce bien cela qu'il fallait faire ? Oui c'est correct

4) Je n'ai aucune idée de la méthode a employer. Je peux avoir les résultats sur ma calculatrice mais je ne sais pas les justifier.

4)a) A partir de quel jour la population aura t-elle diminué de moitié ?

P(t)=2500*exp(-t/20). Lorsque P(t)=P(0)/2=1250 ==>exp(-t/20)=1/2 ==> t=20*ln(2)=13,86=14 jours

b) A partir de quel jour pourra t-on considérer qu'il n'y a plus de truites dans le lac ?

Lorsque p(t)<1 ==>2500*exp(-t/20)<1 ==> t>156 jours

5)a)P'(t) est toujours négative donc P(t) est décroissante. Oui

b)J'ai trouvé 0. Est-ce bien ça ? Oui

Merci d'avance à ceux qui m'aideront.