Etude De Fonction, Terminale S

[croctout]

Bonsoir à tous, voila j'ai un devoir maison à faire, j'ai deja fait l'exo 1 et l'exo 2 , il me reste plus que cet exercice (exo 3) où je bloque completement. Pourriez vous me donnez un coup de pouce pour les 4 questions qu'ils me restent?

Premiere question, j'ai dit que les fonctions sont bien continues et derivable sur R+ car la fonction x² et continue et derivable sur R+ et (lnx)^x est continue sur R+.

2 ) Pour étudier les variations, je dois calculer la dérivée de la fonction fn(x); or je ne connais pas la dérivéé de (lnx)^x bien que je sais que la dérivée de ln(x)=1/x...

JE bloque complètement, sur cet exo, et je dois le rendre mercredi matin.. Je vous remercie deja de votre aide et vous souhaite bonne chance

[Hiphigenie]

Bonjour,

Il s'agit de (lnx)^n et non pas (lnx)^x.

[(lnx)^n]' = [n.(lnx)^(n-1)]/x.

[Barbidoux]

1----------------------------

x^2 et lg(x) étant des fonctions continues et dérivables sur R⁺ les fonction f_n=x^2*ln(x)^n étant le produit de fonctions continues et dérivables sur R⁺ sont continues et dérivables sur R⁺

2----------------------------

f_n=x^2*ln(x)^n

f’_n=x*ln(x)^(n-1)*(n+2*ln(x))

f’_n=0 ==> x=exp(-n/2) et x=1

Deux cas ont à envisager

n impair :

........................0......................exp(-n/2).......................1........................

x*ln(x)^(n-1)...............(+)................................(+)...........(0)........(+)...........

(n+2*ln(x)).......... ........(-)...............(0)..............(+).......................(+).........

f’_n..............................(-)...............(0)..............(+)...........(0)........(+)..........

f_n....................0....decrois.........Min............croiss...................croiss.......

n pair :

........................0......................exp(-n/2).......................1........................

x*ln(x)^(n-1)...............(-)................................(-).............(0)........(+)...........

(n+2*ln(x))..................(-)...............(0)..............(+).......................(+).........

f’_n............................(+)...............(0)..............(-)...........(0)........(+)..........

f_n.....................0....crois.............Max.........decroiss......Min.......croiss.......

3----------------------------

les valeurs x=0, x=1 et x=exp(1) reportées dans f_n=x^2*ln(x)^n conduisent à des ordonnées qui ne dépendent pas de n ce qui montre que les graphes de f_n=x^2*ln(x)^n passent par trois point fixes qui sont {0,0}, {1,0} et {exp(1),exp(1)^2}

4----------------------------

f₁=x^2*ln(x)

f’₁=x*ln(x)*(2+2*ln(x))

la ou les tangentes au graphe C₁ de f₁ issues du point A{2,0} ont pour expression :

y=f’₁(a)*(x-a)+f₁(a)

où a représente l’abscisse du point de tangence à C₁. Cette ou ces tangentes passant par A{2,0} , la ou les abscisse a sont solution de l’équation :

0=f’₁(a)*(2-a)+f₁(a)

0=2*a - a^2 + 4 a*ln(a)- a^2*ln(a)

Le tracé du graphe de f(a)=2*a - a^2 + 4 a*ln(a)- a^2*ln(a)

montre que cette équation admet deux racines a=0,670 et a=3,055 qui sont les coordonnées des point de contact des tangentes issues de A{2,0} au graphe de C₁

[croctout]

Bonsoir Barbidoux, tout d'abord je vous remercie de votre aide précieuse; j'ai presque tout compris sauf quelques petit détails :

f’_n=0 ==> x=exp(-n/2) et x=1

Comment avez vous fait pour trouver x= exp(-n/2) et x=1 ?

De plus, je n'ai pas compris comment vous avait trouvé que les graphes de f_n=x^2*ln(x)^n passent par trois point fixes {0,0}, {1,0} et {exp(1),exp(1)^2}.

vous avez remplacé dans fn, x par 1, puis x par 0 puis par exp(1)?

Merci de votre attention.

[Barbidoux]

Bonsoir Barbidoux, tout d'abord je vous remercie de votre aide précieuse; j'ai presque tout compris sauf quelques petit détails :

f’_n=0 ==> x=exp(-n/2) et x=1

Comment avez vous fait pour trouver x= exp(-n/2) et x=1 ?

De plus, je n'ai pas compris comment vous avait trouvé que les graphes de f_n=x^2*ln(x)^n passent par trois point fixes {0,0}, {1,0} et {exp(1),exp(1)^2}.

vous avez remplacé dans fn, x par 1, puis x par 0 puis par exp(1)?

Merci de votre attention.