Dm Intégrale+Calcul De Volume+Suites

[Momow]

Bonjour, bonjour !

Voici mon nouveau DM =) (pour jeudi prochain ! mais faut que je me presse) hihi, donc scanné pour éviter toute erreur dans l'énoncé =D !

Commençons par le commencement, c'est-à-dire l'exo 1 ! ^^

Alors, je n'ai pas beaucoup avancée encore hein, mais bon !

Partie A

Pour I1 j'ai fais une intégration par parties en définissant :

u'(x) = exp(x) avec u(x)= exp(x)

v(x) = 2-x donc v'(x) = -1

Donc I1 = [(2-x)*exp(x)] (de0à2) - Intégrale(0à2) (-exp(x) dx

I1 = ((2-x)*exp(x)] (0à2) - [exp(-x](0à2)

I1 = 0*exp(2) - 2 - exp(-2) + 1 = -exp(-2) - 1

(Je ne suis pas sûre du tout en plus je n'ai pas vérifié, honte à moi je l'accorde.)

2)

0 x <=2

0 => -x => -2

2 => 2-x => 0

0 2-2 2

0<=(2-x)^n 2^n

0<= (2-x)^n * exp(x) 2^n * exp(x)

0 1/n * (2-x)^n *exp(x) 1/n * 2^n * exp(x)

0<= Intégrale (0à2) [1/n * (2-x)^n *exp(x)] dx intégrale(0à2) [1/n * 2^n * exp(x) ]dx

0 In intégrale(0à2) [1/n * 2^n * exp(x)] dx

Et...coincée >...<

3) a. Faut-il faire une récurrence ??

Après je n'ai pas encore regardé !

Exercice 2:

1. a. J'ai démontré que f(x) = f(-x)

f(-x) = 1/ sqrd(1+(-x)²) = 1/ sqrd(1+x²)

b. J'ai dérivé f ce qui me donne f'(x) = (-2x)/2sqrd(1+x²) * 1/(1+x²)

Donc f' négative, donc f décroissante sur R(+)

c. Lim f(x) = 0 car lim sqrd(1+x²) = +inf

x->+inf

Donc on en déduit qu'en -inf lim= 0 car la fonction est paire

2) a. f(t) = 1/sqrd(1+t²) définie et dérivable sur R donc F(x) aussi, non ?

Après, je n'ai pas trop regardé mais il va me manquer la méthode je pense =S

Voilà déjà ça, merci beaucouuuup =D

x->+inf

[Hiphigenie]

Bonjour,

Donc I1 = [(2-x)*exp(x)] (de0à2) - Intégrale(0à2) (-exp(x) dx

I1 = ((2-x)*exp(x)] (0à2) - [exp(-x](0à2)

[Hiphigenie]

0 1/n * (2-x)^n *exp(x) 1/n * 2^n * exp(x)

0<= Intégrale (0à2) [1/n * (2-x)^n *exp(x)] dx intégrale(0à2) [1/n * 2^n * exp(x) ]dx

0 In intégrale(0à2) [1/n * 2^n * exp(x)] dx

[Momow]

Merci, du coup, j'ai :

I1 = -2 + exp(2)

ah je n'avais pas duuu tout penser à ça ><

Pour la question 3)a. de l'exo 1 , faut-il que exprimer In+1 - In ??

b. In+1= In - Q avec Q = 2^(n+1)/(n+1)!

In+1-In = - Q

Or Q est une constante et q < 0 donc (In) décroissante ???

c. Oui, In converge car elle est décroissante et comprise entre 0 et 2^n/n! * (e²-1) donc In converge vers 0.

Voilà voilà ,j'avoue je n'ai pas trop continuer ---> pas le temps.

Merciiii de m'aider =D

[Boltzmann_Solver]

Merci, du coup, j'ai :

I1 = -2 + exp(2)

ah je n'avais pas duuu tout penser à ça ><

Pour la question 3)a. de l'exo 1 , faut-il que exprimer In+1 - In ??

b. In+1= In - Q avec Q = 2^(n+1)/(n+1)!

In+1-In = - Q

Or Q est une constante et q < 0 donc (In) décroissante ???

c. Oui, In converge car elle est décroissante et comprise entre 0 et 2^n/n! * (e²-1) donc In converge vers 0.

Voilà voilà ,j'avoue je n'ai pas trop continuer ---> pas le temps.

Merciiii de m'aider =D

[Momow]

Merci ^^ J'ai bien compris la 1) et 2) ^^

Je comprends pas trop pour la 3) 1.

Donc :

In+1 = Intégrale(0à2) [1/n! * (2-x)^n * exp(x)] dx - 2^(n+1) / (n+1)!

In+1 = 1/n! * Intégrale(0à2) (2-x)^n * exp(x) dx - 2^(n+1) / (n+1)!

Calcul de In= 1/n! * Intégrale(0à2) (2-x)^n * exp(x)

On pose v(x) = (2-x)^n donc v'(x) = -n*(2-x)^(n-1)

et u'(x) = exp(x) avec u(x) = exp(x)

Ainsi In = 1/n! * [ (n(2-x)^n * exp(x))(0à2) - intégrale(0à2) [exp(x) * n(2-x)^(n-1)] dx

Il faut que je fasse la double intégration ???? Je ne vais pas tourner en rond comme ça ?

[Boltzmann_Solver]

Merci ^^ J'ai bien compris la 1) et 2) ^^

Je comprends pas trop pour la 3) 1.

Donc :

In+1 = Intégrale(0à2) [1/n! * (2-x)^n * exp(x)] dx - 2^(n+1) / (n+1)!

In+1 = 1/n! * Intégrale(0à2) (2-x)^n * exp(x) dx - 2^(n+1) / (n+1)!

Calcul de In= 1/n! * Intégrale(0à2) (2-x)^n * exp(x)

On pose v(x) = (2-x)^n donc v'(x) = -n*(2-x)^(n-1)

et u'(x) = exp(x) avec u(x) = exp(x)

Ainsi In = 1/n! * [ (n(2-x)^n * exp(x))(0à2) - intégrale(0à2) [exp(x) * n(2-x)^(n-1)] dx

Il faut que je fasse la double intégration ???? Je ne vais pas tourner en rond comme ça ?

[Momow]

Oui merci , j'avais recommencé avant de lire et j'y suis arrivée finalement ! Merci quand même !

Je tente la 4. qui m'a l'air...compliquée xD !

[Boltzmann_Solver]

Oui merci , j'avais recommencé avant de lire et j'y suis arrivée finalement ! Merci quand même !

Je tente la 4. qui m'a l'air...compliquée xD !

[Boltzmann_Solver]

Pour la quatre, il te suffit de sommer pour un certains nombre de n, jusqu'à obtenir In en fonction de n.

[Momow]

J'ai fais l'initialisation :

Pour n =1

1+2^1/1 + I1= 3+I1

or 3+ i1=3+e²-3 = e².

Hérédité :

e²=1+2/1!+...+In (hypothèse de réccurence)

or In+1= In- 2^(n+1)/(n+1) donc In = in+1 + 2^(n+1)/(n+1)!

ainsi e² = 1+2/1!+2²/2! +....+In+1 + 2^(n+1)/(n+1)!

Après pour la 5.

J'ai un+1/un = 2^(n+1)/(n+1)! * (n!/2^n) = 2/(n+1) mais je suis pas sûre pour ma simplification !

[Boltzmann_Solver]

J'ai fais l'initialisation :

Pour n =1

1+2^1/1 + I1= 3+I1

or 3+ i1=3+e²-3 = e².

Hérédité :

e²=1+2/1!+...+In (hypothèse de réccurence)

or In+1= In- 2^(n+1)/(n+1) donc In = in+1 + 2^(n+1)/(n+1)!

ainsi e² = 1+2/1!+2²/2! +....+In+1 + 2^(n+1)/(n+1)!

Après pour la 5.

J'ai un+1/un = 2^(n+1)/(n+1)! * (n!/2^n) = 2/(n+1) mais je suis pas sûre pour ma simplification !

[Momow]

Je suis parvenue au bon résultat pour la 5.a.

Je commence la 5.b. =S

[Momow]

J'ai abandonnée, je n'y arrive pas donc je suis passée à la partie B .

1. f'(x) = (x-2)'*exp(x) + expx'(x-2) = exp(x) + exp(x) (x-2) = exp(x) * (-1+x)

Donc sur [0;1] f(x) décroit puis est croissante sur [1;2] . avec f(0) = -2 f(1) = -e f(2) = 0.

Je tracerai la courbe plus tard quoi que pour la suite je peux en avoir besoin!

[Boltzmann_Solver]

J'ai abandonnée, je n'y arrive pas donc je suis passée à la partie B .

1. f'(x) = (x-2)'*exp(x) + expx'(x-2) = exp(x) + exp(x) (x-2) = exp(x) * (-1+x)

Donc sur [0;1] f(x) décroit puis est croissante sur [1;2] . avec f(0) = -2 f(1) = -e f(2) = 0.

Je tracerai la courbe plus tard quoi que pour la suite je peux en avoir besoin!

[Momow]

Je comprends pas vraiment la démarche en fait ! Je suis désolée >.< Il faut aller comme ça jusqu'à u3 ???

du coup j'ai continué un peu l'exo, j'ai commencé la partie B.

B. 1. je l'ai déjà écrit un peu plus haut ^^

2. J'ai calculé l'intégrale(0à2) f(x) dx

Avec une IPP avec u'(x) = exp(x) --> u(x) = exp(x)

v(x) = x-2 ---> v'(x) = 1

dc ----> [exp(x)*(x-2](0à2) - intégrale (0a2)[exp(x)]dx

= [exp(x)*(x-2)](0à2) - [exp(x)](0à2)

= -exp(2) + 3

et là j'ai un souci parce qu'une aire est toujours positive (je m'attendais à avoir l'intégrale négative avec le dessin) . Mias est ca queje dois dire que l'aire de E = -[-exp(2)+3] (ce qui m'arrangerai xD) ou aire de E = l -exp(2) +3 l (valeur absolue, ce qui m'arrange moins) ???

3. Ben...je n'y arrive pas pour le moment >..<

[Boltzmann_Solver]

Je comprends pas vraiment la démarche en fait ! Je suis désolée >.< Il faut aller comme ça jusqu'à u3 ???

du coup j'ai continué un peu l'exo, j'ai commencé la partie B.

B. 1. je l'ai déjà écrit un peu plus haut ^^

2. J'ai calculé l'intégrale(0à2) f(x) dx

Avec une IPP avec u'(x) = exp(x) --> u(x) = exp(x)

v(x) = x-2 ---> v'(x) = 1

dc ----> [exp(x)*(x-2](0à2) - intégrale (0a2)[exp(x)]dx

= [exp(x)*(x-2)](0à2) - [exp(x)](0à2)

= -exp(2) + 3

et là j'ai un souci parce qu'une aire est toujours positive (je m'attendais à avoir l'intégrale négative avec le dessin) . Mias est ca queje dois dire que l'aire de E = -[-exp(2)+3] (ce qui m'arrangerai xD) ou aire de E = l -exp(2) +3 l (valeur absolue, ce qui m'arrange moins) ???

3. Ben...je n'y arrive pas pour le moment >..<

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir Momow,

Pour la partie B,

1) et 2) sont justes. Pour le 3), je te rappelle que le volume de révolution d'une fonction f sur [a,b] est obtenue par la formule.

int(pi*f²(x).dx,x,a,b).

A toi de calculer.

[Momow]

Elle me dit rien cette formule...je regarderai mieux dans mon cours !!

J'ai tenté la réccurence pour A. 5.b. ais à mon avis c'est impossible que ce soit cela :

0<=un ?

Initialisation. pour n = 3

U3 = 2^3/1*2*3 = 4/3 > 0 Ok pour ini.

hérédité.

2^n/n! =>0

2^(n+1)/(n+1)! => 0^1/1! = 0

un+1 => 0

---> 0<=un (je ne pense pas que ce soit possible)

Un u3 * (1/2)^(n-3) ?

Ini.

n=3

u3*(1/2)^(3-3) = 4/3

u3=4/3

--> ok pour ini

hérédité.

un u3 * (1/2)^(n-3)

2^n/n! u3*(1/2)^(n-3)

Après je ne sais pas comment y arranger >...<

[Boltzmann_Solver]

Elle me dit rien cette formule...je regarderai mieux dans mon cours !!

J'ai tenté la réccurence pour A. 5.b. ais à mon avis c'est impossible que ce soit cela :

0<=un ?

Initialisation. pour n = 3

U3 = 2^3/1*2*3 = 4/3 > 0 Ok pour ini.

hérédité.

2^n/n! =>0

2^(n+1)/(n+1)! => 0^1/1! = 0

un+1 => 0

---> 0<=un (je ne pense pas que ce soit possible)

Un u3 * (1/2)^(n-3) ?

Ini.

n=3

u3*(1/2)^(3-3) = 4/3

u3=4/3

--> ok pour ini

hérédité.

un u3 * (1/2)^(n-3)

2^n/n! u3*(1/2)^(n-3)

Après je ne sais pas comment y arranger >...<

[Momow]

Ah oui "en déduire" ... Merci ! Du coup j'ai fini exo 1.

3a. J'ai calculé la dérivée de G(x)

G'(x) = exp(2x) * ( 2ax² + (2a+2b)x+(b+2c))

Puis f²(x) = exp(2x) * (x²-4x+4)

Par identification : a = 1/2 b=-5/2 c = 13/4

b. j'ai calculé pi * intégrale(0à2)f²(x)dx = pi*[(1/2x²-5/2x+13/4)*exp(2x)] (0à2] = pi * ( (exp4 -13)/4)

voilà voilà !

Exercice 2

J'ai fais toute la partie 1. sans aucun souci.

Partie deux je n'arrive pas à partir de c. Et la partie 3 et 4 non plus =S

Merci beaucoup de prendre du temps pour moi =D !!! (au fait, dernier DM : 15 aussi ^^ )

[Boltzmann_Solver]

Ah oui "en déduire" ... Merci ! Du coup j'ai fini exo 1.

3a. J'ai calculé la dérivée de G(x)

G'(x) = exp(2x) * ( 2ax² + (2a+2b)x+(b+2c))

Puis f²(x) = exp(2x) * (x²-4x+4)

Par identification : a = 1/2 b=-5/2 c = 13/4

b. j'ai calculé pi * intégrale(0à2)f²(x)dx = pi*[(1/2x²-5/2x+13/4)*exp(2x)] (0à2] = pi * ( (exp4 -13)/4)

voilà voilà !

Exercice 2

J'ai fais toute la partie 1. sans aucun souci.

Partie deux je n'arrive pas à partir de c. Et la partie 3 et 4 non plus =S

Merci beaucoup de prendre du temps pour moi =D !!! (au fait, dernier DM : 15 aussi ^^ )

[Boltzmann_Solver]

Pour la question 3), les réponses sont justes. Après reste la rédaction mais bon...

Par contre, pour la 3)b), il manque l'approximation.

[Momow]

Ah oui oui pour moi c'est une bonne note évidemment ^^

Partie A :

Question 6 .

0 un u3*(1/2)^(n-3)

Or lim u3*1/2^(n-3) = 0 car lim u3=u3=4/3 et lim 1/2^(n-3) = 0

Donc par le th des gendarmes, limun = 0

De même pour In 0<=In<=2^n/n! * (e²-1)

lim 2^n/n! *(e²-1) = 0 car lim e²-1=e²-1 et lim 2^n/n! = 0

Par le th des gendarmes limIn=0

La question 7 je viens de voir quej e n'y suis pas arrivée , j'ai noté une gros ? sur mon brouillon xD

Pardon ! 3b approximation : 32.671 . Mais euh ça me semble bizarre par rapport au dessin...

[Boltzmann_Solver]

Ah oui oui pour moi c'est une bonne note évidemment ^^

Partie A :

Question 6 .

0 un u3*(1/2)^(n-3)

Or lim u3*1/2^(n-3) = 0 car lim u3=u3=4/3 et lim 1/2^(n-3) = 0

Donc par le th des gendarmes, limun = 0

De même pour In 0<=In<=2^n/n! * (e²-1)

lim 2^n/n! *(e²-1) = 0 car lim e²-1=e²-1 et lim 2^n/n! = 0

Par le th des gendarmes limIn=0

La question 7 je viens de voir quej e n'y suis pas arrivée , j'ai noté une gros ? sur mon brouillon xD

Pardon ! 3b approximation : 32.671 . Mais euh ça me semble bizarre par rapport au dessin...