croctout Posté(e) le 22 mars 2010 Signaler Posté(e) le 22 mars 2010 Bonjours à tous, j'ai un devoir maison a rendre mercredi et il me reste cet exercice sur les fonctions exponentielles. Je voulais savoir si vous pouvez me donner un coup de pouce car je suis vraiment bloqué sur cet exercice . J'ai fait des essaies mais je n'arrive vraiment pas démarrer... En esperant avoir un coup de pouce de votre part, je vous souhaite bonne chance et Merci d'avance .
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 mars 2010 Partie A 1--------------- soit f(u)=exp(u)-u-1 f’(u)=exp(u)-1=0 pour u =1 Lorsque : x-> - alors f(u) -> + x-> alors f(u) -> + (croissance comparée de exp(u) et u u............... ........................0............................. f’(u).................decrois...........Min.......crois................. f(u)....... ....(+).................0...........+................. et f(u) 0 quelque soit u ==> exp(u)-u-1 0 ==> exp(u) u+1 2--------------- on pose u=-x ==> exp(-x)+x-1 0 ==> exp(x)*(exp(-x)+x-1) >=0 ==> 1+(x-1)*exp(x) 0 3--------------- f0= (exp(x)-1)/x Losque : x -> alors f0 exp(x)/x -> croissance comparée de exp(x) et x x -> 0+ alors exp(x) 1+x et f0 (1+x-1)/x=1 4--------------- f’0(x)=exp(x)/x-(exp(x)-1)/x^2 =(exp(x)*(x-1)+1)/x >0 si x appartient à ]0, ;infini[ ................................... 0........................... f’0(x)............................(+)......................... f0(x)...........1................(+).........................
croctout Posté(e) le 22 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 22 mars 2010 Bonsoir Barbidoux, tout d'abord merci pour le coup de pouce de la partie A , Néanmoins je n'ai pas compris tous votre raisonement :$ tout d'abord vous aviez dit que " soit f(u)=exp(u)-u-1 f’(u)=exp(u)-1=0 pour u =1" Or ce n'est pas lorsque u=0 ? car si u=0 exp(0)=1 et on a 1-1=0 ? Ensuite j'ai pas trop compris votre Premier tableau de variation.. Pour finir vous avez marquer "Losque : x -> alors f0 exp(x)/x -> croissance comparée de exp(x) et x x -> 0+ alors exp(x) 1+x et f0 (1+x-1)/x=1 " je n'ai pas compris comment vous aviez trouvé que exp(x)= 1+x .... Sinon merci pour le reste j'ai refait les calculs, sa m'a beaucoup aidé. Pour la Partie B, pourriez vous me donner un coup de pouce pour trouver l'asymptote (question 1) ainsi que la question 5, si vous avais le temps car je bloque completement Merci et bon courage.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 22 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 mars 2010 Partie A 1--------------- soit f(u)=exp(u)-u-1 f’(u)=exp(u)-1=0 pour u =0 faute de frappe Lorsque : x-> - alors f(u) -> + x-> alors f(u) -> + (croissance comparée de exp(u) et u u............... ........................0............................. f’(u).................(-)...................Min.......(+)................. f’(u).................decrois...........Min.......crois................. f(u)....... ....(+).................0...........+................. et f(u) 0 quelque soit u ==> exp(u)-u-1 0 ==> exp(u) u+1 2--------------- on pose u=-x ==> exp(-x)+x-1 0 ==> exp(x)*(exp(-x)+x-1) >=0 ==> 1+(x-1)*exp(x) 0 3--------------- f0= (exp(x)-1)/x Lorsque : x -> alors f0 exp(x)/x -> croissance comparée de exp(x) et x x -> 0+ alors exp(x) 1+x et f0 (1+x-1)/x=1 exp(x)= 1+x/!+x^2/2!+x^3/3! etc... est le développement en série de exp(x). Il faut connaître les développements en série des fonctions usuelles 4--------------- f’0(x)=exp(x)/x-(exp(x)-1)/x^2 =(exp(x)*(x-1)+1)/x >0 si x appartient à ]0, ;infini[ ................................... 0........................... f’0(x)............................(+)......................... f0(x)...........1................(+).........................
croctout Posté(e) le 23 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 23 mars 2010 Re Bonsoir monsieur Barbidoux, dans la partie B j'ai essayer toute l'aprem midi et je bloque à nouveau. En enfaite jai calculer les limites, jai trouver que quand x tend vers o , fn(x)= - l'infinie et quand x tend vers + l'infinie, fn (x) = + l'infinie, je ne sais pas si cela est juste. Il faut que je calcule la dérivé de fn afin d'y étudier ses variation et de faire un tableau de signe, mais la je bloque vraiment ce qui me pénalise^pour la suite de l'exercice car ensuite il demande de trouver un unique reel et il faut utiliser le corolaire des valeur intermédiaire or je n'arrive pas faire le tableau. J'ai beaucoup de difficultés avec cet exercice, et je suis tres reconnaissent de votre précieuse aide. J'espere que vous pourrait m'aider ce soir car je doit rendre le dm demain Merci et bon courage.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 23 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 23 mars 2010 Partie B 1------------- Lorsque x-> fn -> car (exp(x)-1)/x -> (voir question (A3)et n *ln(x) -> Lorsque x->0 fn -> - car (exp(x)-1)/x ->1 voir (A3) et n *ln(x) -> - donc asymptote verticale d’équation x=0 2----------- f’n=exp(x)/x-(exp(x)-1)/x^2+n/x=(x*exp(x)-exp(x)+1+n*x)/x^2=(exp(x)*(x-1)+1+n*x)/x^2 or (cf. question A2) exp(x)*(x-1)+1>0 et n*x>0 donc f’n>0 sur ]0; [ => fn croissante sur cet intervalle 3----------- fn=(exp(x)-1)/x+n*ln(x) ln(1)=0 ==> les graphes des courbes fn passent toutes par le point de coordonnées {1, exp(1)-1} 4----------- f1(0,2)=-0,502 <0 f1(0,9)=1,516 <0 la fonction f1 est croissante ce qui signifie que son graphe coupe les abscisse en un point d’abscisse a appartenant à [0,2; 0,9] pour lequel f1 =0 5----------- fn=(exp(x)-1)/x+n*ln(x) f1=(exp(x)-1)/x+ln(x) fn-f1=n*ln(x)-ln(x)=ln(x)*(n-1) ---------- fn(a)-f1(a)=ln(a)*(n-1) or f1(a)=0 et a<1 ==> ln(a)<0 ==>fn(a)= ln(a)*(n-1)<0 si n>1 6----------- fn(a)<0 et fn(1)>0 La fonction fn est croissante ce qui signifie que son graphe coupe les abscisse en un point d’abscisse an appartenant à [a; 1] pour lequel fn (an) =0 7----------- la fin en soirée...
croctout Posté(e) le 23 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 23 mars 2010 Merci beaucoup Barbidoux, j'ai refait les calcules et j'ai enfin compris cet exercices;
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