Les Dérivations

[Marabou]

Bonjour à Tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide pour faire cet exercice:

On considère la fonction F définie sur R par f(x)= (x+1)/(x² -x+2) et sa représentation graphique Cf dans un repère (O, I, J)

1/ Calculer sa dérivée F'

2/ Étudier, suivant les valeurs de x le signe de F'(x)

3/ Dresser le tableau de variations de F.

4/ Expliquer pourquoi les tangentes à Cf aux points d'abscisses respectives 1 et -3 sont parallèles.

5/ Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse -1

Merci d'avance

[Barbidoux]

On considère la fonction F définie sur R par f(x)= (x+1)/(x² -x+2) et sa représentation graphique Cf dans un repère (O, I, J)

1/ Calculer sa dérivée F'

2/ Étudier, suivant les valeurs de x le signe de F'(x)

f'(x)=1/(x^2-x+2)-((x+1) (2 x-1))/(x^2-x+2)^2=-(x^2+2 x-3)/(x^2-x+2)^2

Le polynôme (x^2+2 x-3) admet deux racines x=-3 et x=1 est <0 à l'extérieur des racines et le polynôme (x^2-x+2) n'admet pas de racine est est >0

3/ Dresser le tableau de variations de F.

...........................(-3)........................(1).........................

f'(x)........(-).........(0)............(+)..........(0)..........(-)..........

f(x)....decrois.....Min...........crois.......Max.....decrois.......

4/ Expliquer pourquoi les tangentes à Cf aux points d'abscisses respectives 1 et -3 sont parallèles.

f'(-3)=f'(1)=0 les tangentes à la f(x) en -3 et 1 ont même coefficient directeur =0 , elle sont parallèles et parallèles à l'axe ox

5/ Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse -1

y=f'(-1)*(x+1)+f(-1) comme f'(-1)=1/4 et f(-1)=0 ==> y=(x+1)/4

[Marabou]

J'ai du mal à comprendre, le tableau de variation j'ai compris, mais pour calculer la dérivée et tout j'ai du mal !

Merci de m'aider un petit peu

Marabou !!!

[Barbidoux]

f(x)= (x+1)/(x² -x+2)

1/ Calculer sa dérivée F'

On utilise la dérivée de y=u/v ==> y'=u'/v-u*v'/v^2

on pose u=(x+1) ==> u'=1 et v=(x^2-x+2) ==> v'=(2*x-1)

f'(x)=1/(x^2-x+2)-((x+1) (2 x-1))/(x^2-x+2)^2

=(x^2-x+2-(x+1) (2 x-1))/(x^2-x+2)^2

=(x^2-x+2-(2*x^2+x-1))/(x^2-x+2)^2

=-(x^2+2 x-3)/(x^2-x+2)^2

[Marabou]

Voilà mes réponses pour les questions 2) et 3):

Alors pour le tableau de signes; La dérivée f'(x) est négative sur ]- L'Infini;-3], nulle pour x=0, Positive sur l'Intervalle ]-3;1[, nulle pour x=1 et enfin négative sur l'Intervalle ]1; + L'Infini[

Et pour le tableau de variation; f(x) est décroissante sur L'Intervalle ]- L'Infini;-3], , puis Croissante sur sur l'Intervalle ]-3;1[ et enfin décroissante sur l'Intervalle ]1; + L'Infini[.

Est-ce que c'est Bon ?

Merci de votre Aide !

Marabou !!!

[Barbidoux]

Voilà mes réponses pour les questions 2) et 3):

Alors pour le tableau de signes; La dérivée f'(x) est négative sur ]- L'Infini;-3] (donc f(x) est décroissante sur cet intervalle), nulle pour x=0 (elle s'annule pour x=-3 ce qui signifie que le graphe de f(x) passe par un minium pour cette valeur, Positive sur l'Intervalle ]-3;1[, (donc f(x) est croissante sur cet intervalle) nulle pour x=1 (elle s'annule pour x=1 ce qui signifie que le graphe de f(x) passe par un maximum pour cette valeur et enfin négative sur l'Intervalle ]1; + L'Infini (donc f(x) est décroissante sur cet intervalle)

Ce qui donne le tableau de variation suivant :

x.........................(-3)........................(1).........................

f'(x)........(-).........(0)............(+)..........(0)..........(-)..........

f(x)....decrois.....Min...........crois.......Max.....decrois.......