Suites

[JulesTSD]

bonjour, j'ai commancé un exercice mais jen etrouve pas les résultats souhaités. Voici l'exercice

la suite u est définie par U0=2 et Un+1= 1/3 Un + 23/27

1) demontrer que si la suite u est convergente, alors sa limite est l=23/18

pour cela j'ai dit que c'était une suite arithmétique et que donc je faisais

Un+1 - Un = 1/3Un + 23/27 - Un

=-2/3Un + 23/27

et la je me sens bloqué

2) démontrer que pour tout entier naturel n, on a Un 23/18

j'ai commencé une récurrence

pour n=0 nous avons U0 23/18

2 23/18

c'est vrai

hypothèse de récurrence Uk 23/18

au rang k+ 1 ?

Uk 23/18

1/3 Uk 23/54 ( 23/18*1/3)

1/3Uk+ 23/27 23/54 + 23/27

et ce la ne me donne pas le bon résultat.

3) La suite v est définie pas Vn=1.2777...7 avec n décimales consécutives égales à 7.

Ainsi V0= 1.2 , V1= 1.27 , V2= 1.277

en utilisant la représentation graphique de u démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r ( c'est a dire le quotient de deux entiers )

et celle la j'en ai strictement aucune idée.

Merci d'avance si vous m'aidez

[Barbidoux]

1-----------------------

U₀=2

U₁=U₀/3+23/27=2/3+23/27

U₂=U₁/3+23/27=2/3^2+(23/27)*(1+1/3)

U₃=U₂/3+23/27=2/3^3+(23/27)*(1+1/3+1/3^2)

---------

U_n=U_n-1/3+23/27=2/3^n+(23/27)*(1+1/3+1/3^2+.....,+1/3^(n-1))

-----------

U_n=2/3^n+(23/27)*(1-1/3^(n))/(1-1/3)=2/3^n+(23/18)*(1-1/3^(n))

Lorsque n-> alors 2/3^n->0 et 1/3^(n)->0 ==> U_n -> 23/18

2-----------------------

U_n=(13^n)*(2-23/18)+23/18 comme 2-23/18 >0 ==>

U_n=(13^n)*(2-23/18)+23/18 23/18

3-----------------------

U₀=1,2

U₁=U₀+0,07

U₂=U₁+0,07/10=U₀+0,07+0,07/10==U₀+0,07*(1+1/10)

---------

U_n=U_n-1+0,07/10=U₀+0,07*(1+1/10+......1/10^(n-1)))

U_n=1,2+0,07*(1-1/10^(n-1))/(1-1/10)=1,2+0,07*(10/9)*(1-1/10^(n-1))

Lorsque n-> alors 1/10^(n-1) et limite de U_n= 1,2+0,07*(10/9)=90*1,2/90+0,07*100/90=115/90