Exercice Fonction Dérivé

[Maxou62]

Bonjour,

Etant donné que les fonctions dérivé sont pas trop ma spécialité :/.

Pourriez vous m'aidez sur cette exercice :

soit f la fonction définie sur ]0; + inf. [ par f(x) = 1/x.

Soit H sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O ; i, j).

• Calculer le nombre dérivé f ‘(2)
• Soit A le point H d’abscisse 2. Déterminer une équation de la droite (D) tangente à H en A.
• La droite (D) coupe l’axe des abscisse en M et l’axe des ordonnées en N. Déterminer les coordonnées des point M et N.
• Démontrer que les points M,N et O sont sur un même cercle de centre A.
• Soit x un réel de ]0 ;+inf. [.

A ) reprendre la démarche des questions précédentes si le point A a pour abscisse x.

B ) En déduire un moyen simple de construire la tangente en un point de H

je vous remercie beaucoup

[Barbidoux]

f(x)=1/x ==> f’(x)=-1/x^2

Calculer le nombre dérivé f ‘(2)

f’(2)=-1/4

Soit A le point H d’abscisse 2. Déterminer une équation de la droite (D) tangente à H en A.

La tangente au graphe de f(x) au point d’abscisse A{x₀; y₀} a pour expression :

y=f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)

soit dans le cas où A{2,1/2}

y=-(1/4)*(x-2)+1/2=-x/4+1

La droite (D) coupe l’axe des abscisse en M et l’axe des ordonnées en N. Déterminer les coordonnées des point M et N.

On remplace successivement x et y par 0 dans l’équation de la tangente ==>M{4,0} et N{0,1}

Démontrer que les points M,N et O sont sur un même cercle de centre A. Le triangle MON est rectangle en O et M, O et N sont sur un cercle de diamètre MN et et ayant pour centre le milieu de MN de coordonnées {2,1/2} c’est à dire le point A

Soit x un réel de ]0 ;+inf. [.

A ) reprendre la démarche des questions précédentes si le point A a pour abscisse x. La tangente au graphe de f(x) au point d’abscisse A{x₀; y₀} a pour expression :

y=f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)

Dans le cas où f(x)=1/x ==> f’(x₀)=-1/x₀^2 ==>

y=-x/x₀^2+2/x₀

La droite (D) coupe l’axe des abscisse en M et l’axe des ordonnées en N. On remplace successivement x et y par 0 dans l’équation de la tangente pour obtenir les coordonnées de M et N==>M{2*x₀, 0} et N{0,2/x₀}

Le triangle MON est rectangle en O et M, O et N sont sur un cercle de diamètre MN et ayant pour centre le milieu de MN de coordonnées {x₀,1/x₀} c’est à dire le point A

B ) En déduire un moyen simple de construire la tangente en un point de H

On trace le cercle de rayon OH qui coupe les axes en M et N. La droite MN est la tangente à f(x) au point H

[Maxou62]

merci