Chute Verticale

[beasymbol]

Bonjour tout le monde,

J'ai un léger problème au niveau de la résolution de l'équation différentielle. Voici l'exercice en question:

C'est la question 5) a) qui me pose problème: en effet, j'ai établit que l'équation diférentielle vaut: dvy/dt = g(1 - (masse volumique eau sucrée/ masse vol bille)) - (k/(masse vol bille x volume bille)) x vy(t)

Cependant je n'arrive pas à résoudre correctement cette équation.

Si vous pouvez m'aider ce serait agréable et gentil de votre part

Merci à vous et bon week-end

[Barbidoux]

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Poids P de la bille et force fr de frottement

2---------------

la résultante f des forces vaut f=P+fr (f,p et fr sont colinéaires, f et P sont de même sens et fr de sens inverse) ==>

m*gamma=mg-k*v comme gamma =dV/dt ==> dV/dt=g-(k/m)*V

A=g=9,8 N kg=9,8 m/s^2

3---------------

Lorsque la bille atteint sa vitesse limite alors dV/dt=0 ==> g-(k/m)*V_L=0 ==> beta=g/v_L

4---------------

On peut vérifier que v(t)=v_L+k*exp(-(g/v_L)*t) est solution de l’équation différentielle en écrivant :

dv/dt=-k*beta*exp(-beta*t)=(v_L-v(t))*beta=g-beta*v(t)

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La résolution de l’équation différentielle sans second membre conduit à :

dv/dt=-beta*v ==> dv/dt=-beta*dt ==> v=k*exp(-beta*t) où k est une constante. La solution générale de l’équation différentielle s’écrit :

v(t)=k*exp(-beta*t)+v_L la valeur de k est déterminée e en utilisant les condition initiales t=0 ==> v(0)=0 ==>

0=k+v_L ==> k=-v_L ==> v(t)=v_L*(1-exp(-beta*t))