Dm De Maths 1Ère Es

[theoninou]

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît, voilà le sujet:

EXO 2: Dans l'espace muni d'un repère (O,i,j,k) on a les points A(2;-1;3), B(3;2;1), C(-2;3;1) et D(6;3;0)

1. Les points A,B,C et D sont-ils coplanaires ?

EXO 3: Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2;-1;3), B(-2,3,1), C(-2;0;4), D(9;-5;8), et E(8;-7;6)

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

2. Les points A, B et E sont-ils alignés ?

3. Montrer que les vecteurs ED et AB sont orthogonaux

4. Montrer que la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC)

EXO 4: Dans l'espace muni d'un repère, on considère les points A(-2;3;-1) et B(1;3;2)

1. Déterminer les coordonnées du point C intersection de la droite (AB) avec le plan (xoy).

2. Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (yoz).

3. La droite (AB) est-elle sécante avec le plan (xoz) ?

EXO 5: Dans l'espace muni d'un repère, on considère les points A(-1;6;7,5) et B(-2;8;9)

1. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à l'axe (Oz) et passant par les points A et B.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan Q parallèle à l'axe (Oy) et passant par les points A et B.

3. Soit d la droite caractérisée par le système: 2x + y = 4

3x + 2z = 12

Les points A et B sont-ils sur la droite d ?

Je vous remercie d'avance

[Barbidoux]

EXO 2: Dans l'espace muni d'un repère (O,i,j,k) on a les points A(2;-1;3), B(3;2;1), C(-2;3;1) et D(6;3;0)

1. Les points A,B,C et D sont-ils coplanaires ?

Les points A, B C définissent un plan si AB et AC ne sont pas colinéaires ce qui est le cas puisque AB{1,3,-2} n'est pas colinéaire de AC{-4,4,-2}.

Les points A, B, C et D appartiennent au même plan si il existe un couple de valeurs a et b tel que AB=a*AC +b*AD. Comme AD{4,4-3} ==> {1,3,-2}=a*{-4,4,-2}+b*{4,4-3}. En identifiant les composants des coordonnées on obtien 1=-4*a+4*b , 3=4*a+4*b et -2=-2*a-3*b ==> a=1/4 et b=1/2 et puisque AB=AC/4 +AD/2 les 4 points sont bien coplanaires.

[Barbidoux]

EXO 3: Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2;-1;3), B(-2,3,1), C(-2;0;4), D(9;-5;8), et E(8;-7;6)

1. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.

Les points A, B et C déterminent un plan si les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires ce qui est le cas puisque AB{-4,4,-2} n'est pas colinéaire avec AC{-4,1,1}

2. Les points A, B et E sont-ils alignés ?

Les points A, B et E sont alignés si AB= k*AE or AE{6,-6,3} et comme AB=(-4/6)*AE on en déduit que A,B et E sont alignés

3. Montrer que les vecteurs ED et AB sont orthogonaux

Les vecteurs ED et AB sont orthogonaux si AB.ED=0 or ED{1,2,2} et AB.ED=(6*1-6*2+3*2)=0 et ED et AB sont orthogonaux

4. Montrer que la droite (ED) est perpendiculaire au plan (ABC)

BC{0,-3,-3} et ED.BC=(1*0-3*2+3*2)=0 et ED et BC sont orthogonaux. Le vecteur ED étant perpendiculaire aux vecteur AB et BC du plan ABC est perpendiculaire à ce plan

[Barbidoux]

EXO 4: Dans l'espace muni d'un repère, on considère les points A(-2;3;-1) et B(1;3;2)

1. Déterminer les coordonnées du point C intersection de la droite (AB) avec le plan (xoy).

Soit M{x,y,z} un point de la droite AB. L'équation paramétrique de la droite s'obtient en écrivant AM=k*AB.

AM{x+2, y-3,z+1} et AB{3,0,3} conduisent à l'équation paramétrique de la droite :

x=3*k-2

y=3

z=3*k-1

Les coordonnées du point C intersection de la droite (AB) avec le plan (xoy) s'obtiennent en introduisant la condition z=0 dans l'équation paramétrique de la droite ==> k=1/3 ==> D{-1,3,0}

2. Déterminer les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (yoz).

Les coordonnées du point D intersection de la droite (AB) avec le plan (yoz) s'obtiennent en introduisant la condition x=0 dans l'équation paramétrique de la droite ==> k=2/3 ==> D{0,3,1}

3. La droite (AB) est-elle sécante avec le plan (xoz) ?

La droite (AB) est parallèle au plan xoz puisque dans l'équation paramétrique de la droite la composante y est indépendant du paramètre k

[Barbidoux]

EXO 5: Dans l'espace muni d'un repère, on considère les points A(-1;6;7,5) et B(-2;8;9)

1. Déterminer une équation cartésienne du plan P parallèle à l'axe (Oz) et passant par les points A et B.

L'équation générale d'un plan parallèle à l'axe oz a pour expression a*x+b*y+1=0 ;

Ce plan passe par le point A(-1,6,7.5} ==> -a+6*b+1=0 et B{-2,8,9} ==> -2*a+8*b+1=0 ==>a=-1/2 et b=-1/4 et l'équation du plan est 2*x+y-4=0

2. Déterminer une équation cartésienne du plan Q parallèle à l'axe (Oy) et passant par les points A et B.

L'équation générale d'un plan parallèle à l'axe oy a pour expression a*x+c*z+1=0 ;

Ce plan passe par le point A(-1,6,7.5} ==> -a+7.5*c+1=0 et B{-2,8,9} ==> -2*a+9*c+1=0 ==>a=-1/4 et b=-1/6 et l'équation du plan est 3*x+2z-12=0

3. Soit d la droite caractérisée par le système: 2x + y = 4

3x + 2z = 12

Les points A et B sont-ils sur la droite d ?

Les coordonnées des point A et B satisfont les équation des deux plans appartiennent au deux plans et la droite AB est la droite d'intersection de ces plans

[theoninou]

merci infiniment monsieur barbidoux, vous etes le meilleur