Devoir Maison (Logarithme )

[JulesTSD]

Bonjour j'ai un devoir maison où il y a des questions que je n'arrive pas a faire.

soit n un entier naturel et Cn la courbe de fn

fn(x)= -nx-xln(x)

il faut demontrer que la courbe Cn admet en un unique point An d'abscisse e^-n-1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

pour cela j'ai caluler la tangente en sachant que f 'n(e^-n-1) ce qui me donne 0 et fn(e^-n-1) me donne justement e^-n-1

puis il faut prouver que le point An appartient à la droite delta d'équation y=1

ensuite demontrer que la courbe Cn coupe l'axe des abscisses en un unique point noté Bn dont l'abscisse est e^-n

et enfin demontrer que la tangente à Cn au point Bn a un coefficient directeur indépendant de l'entier n

Merci d'avance

[Barbidoux]

f(x)=-n*x-x*ln(x) =-x*(n+ln(x))

f’(x)=-1-n-ln(x) qui s’annule pour x=exp(-1-n)

Lorsque x->0 alors n << ln(x) ==> f(x) -x*ln(x) ->0

Lorsque x-> alors n << ln(x) ==> f(x) -x*ln(x) -> -

x..........0.....................exp(-1-x)....................

f’(x)......(0)......(+)..........(0)..............(-).........-

f(x).......(0).....crois......Max...........decrois..... -

f’(exp(-1-x))=-x*(n-1-n)=x=exp(-1-x) et An qui a pour coordonnées {exp(-1-n) ; exp(-1-n}) appartient à la droite y=x

Cn passe par un maximum >0 qui appartient à y=x et decroit de manière uniforme à partir de ce maximum et tend vers - lorsque x-> son graphe coupe donc l’axe des x en un point unique Bn d’abscisse tel que f(x)=-x*(n+ln(x))=0 soit x=exp(-n).

La tangente à Cn qui passe par Bn{exp{-n};0} a pour coefficient directeur f’(exp(n}=-1-n-ln(exp(-n)=-1.

A vérifier..........