Dm De Math

[beb1]

il me reste ses deux exercices à faire merci de bien vouloir m'aider

[Barbidoux]

Exo 3

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h(t)=t+exp(1-t)

x-> ==> expt(1-t) << t et f(x)≈t -> . La droite y=x est assymtote au graphe de f(x) et comme f(x)-y=exp(1-t) -> 0⁺ lorsque x-> on en déduit que le graphe de f(x) tend vers son assymtote par valeurs supérieures.

f(x) est dérivable si (f(x+h)-f(x))/h -> vers une limite finie lorsque h->0

(f(x+h)-f(x))/h=(t+h+exp(1)*exp(-x)*exp(-h)-(t+exp(1-t)))/h=(h+exp(1)*exp(-x)*(exp(-h)-1))/h=1+exp(1)*exp(-x)*(exp(-h)-1))/h

Lorsque h->0 exp(-h) ≈1+h ==> (f(x+h)-f(x))/h=1+exp(1)*exp(-x)*(1-h-1))/h =1+exp(1)*exp(-x)*(-h))/h =1-exp(1)*exp(-x) ce qui montre que la fonction f(x) est dérivable sur R et que sa dérivée vaut f’(x)=1-exp(1)*exp(-x)

x...................................(1)..........................

f’(x).............(-)..............(0)..........(+)............

f(x)......decrois............Min........crois.............

Suite à venir....

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[Barbidoux]

Exo 4

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f(x)=(a*x^3+b*x^2+c*x+d)*exp(-x)

f(0)=-2 ==> d=-2

f’(x)=exp(-x)*(3*a*x^2+2*b*x+c)-exp(-x)*(a*x^3+b*x^2+c*x-2)

f’(x)=exp(-x)*(-a*x^3+3*(a-b)*x^2+(2*b-c)*x+c+2

f(0)=2+c=0 ==> c=-2

f’(2)=(2 + 4 a - c)/exp(2) ==> a=-1

y[2]=(8*a+4*b+2*c-2)/e^2=-18/exp(2) ==>b=-1

==> g(x)=(-x^3 - x^2 - 2 x - 2)*exp(-x)

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