Dm Term S

[emi94]

Voila le devoir maison que je doit rendre pour lundi.

Malheureusement je n'arrive pas a le faire en entier quelqu'un pourrait m'aider?

merci

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Emi,

Pourrais tu me mettre ce que tu as déjà fait (Vu que tu mets en entier). Ca nous ferait gagner du temps.

Merci.

BS

Bonne fête de fin d'année

[Boltzmann_Solver]

Aller, un premier exo vu qu'il est assez court.

Donnée de l'énoncé.

z1 = exp(ia)

z2 = exp(ib)

(z1+z2)²/(z1z2) = (exp(i2a) + 2exp(i(a+b) + exp(2ib))/exp(i(a+b) = exp(i(2a-a-b)) + 2 + exp(i(2b-a-b)) = 2 + exp(i(a-b)) + exp(-i(a-b)) = 2 + 2cos(a-b) = 2(1+cos(a-b)).

Or |cos(x)|<=1. Donc, (z1+z2)²/(z1z2) => 0. CQFD.

Voila.

J'attends de tes nouvelles.

BS

[Boltzmann_Solver]

Et en bonus track, l'exo n°1 :

Exo n°1

1) |z_{n+1}| = |0.5*(1+i)*z_n| = |0.5|*|(1+i)|*|z_n| = 1/2*sqrt(2)*|z_n|. On reconnait une série géométrique. Donc,

zn = (1/sqrt(2))^n*zo = (1/sqrt(2))^n*4 = 4*2^(-n/2)

(Je te laisse faire les calculs de 1 à 5)

arg(z_{n+1}) = arg(0.5*(1+i)*z_n) = arg(0.5) + arg(1+i) + arg(z_n) = 0 + pi/4 + arn(z_n).

On reconnait une suite arthmétique :

arg(z_n) = n*pi/4+arg(z0) = n*pi/4

(Je te laisse faire les calculs de 1 à 5)

Conclusion, zn = 4*2^(-n/2)*exp(i*n*pi/4)

2)a) z_{n+1} - z_n = 4*2^(-(n+1)/2)*exp(i*(n+1)*pi/4) - 4*2^(-n/2)*exp(i*n*pi/4) = 4*2^(-n/2)*exp(i*n*pi/4)*(2^(-1/2)*exp(i*pi/4) - 1) = z_n*(2^(-1/2)*exp(i*pi/4) - 1).

Donc

|z_{n+1} - z_n| = |z_n|*|2^(-1/2)*cos(pi/4)-1 + i*sin(pi/4)| = |z_n|*sqrt((1/2-1)² + (sqrt(2)/2)²) = |z_n|*sqrt(1/4+1/2) = |z_n|*sqrt(3)/2

Donc Delta_{n+1} = Delta_n*sqrt(3)/2

b) On a bien une suite géométrque (car sous forme an+1 = kan).

c) Donc Delta_n = (sqrt(3)/2)^n*Delta_0 = (sqrt(3)/2)^n*(4-2*sqrt(2))

Raison = sqrt(3)/2

Premier terme = (4-2*sqrt(2))

Delta_n0 < 0.01

(sqrt(3)/2)^n*(4-2*sqrt(2)) < 0.01

(sqrt(3)/2)^n < 0.01/(4-2*sqrt(2))

n*ln(sqrt(3)/2) < ln(0.01/(4-2*sqrt(2)))

n > ln(0.01/(4-2*sqrt(2))) / ln(sqrt(3)/2) (On renverse l'inégalité car ln(sqrt(3)/2) < 0).

Voilou.

[emi94]

merci pour cette aide car je ne voyais pas quelle pouvait etre la forme de delta n+1 pour les autres exercices j'avoue que je suis perdue

pour l'exercie 99

1) j'ai essayer une récurrence

on pose la propriété P(n): Un=a avec a étant une constante

-initialisation u0=constante donc la propriété est vrai au rang 0

-hérédité on admet que la propriété P(n+1) est vrai au rang n soit Un=a

on veut montrer que la propriété P(n+2) est vrai aussi

U{n+2}=3/35U{n+1} + 2/35U{n}

or on sait que U{n+1}= 3/35U{n} +2/35U{n-1}

d'ou U{n+2}=3/35(3/35Un+2/35U{n-1})+2/35Un

U{n+2}=9/35²Un+6/35²U{n-1}+2/35Un

U{n+2}=79/35²U{n}+6/35²U{n-1}

je ne trouve pas la réponse je ne vois pas comment faire pour prouver que les suites (Un) peuvent etre constantes

Pour le 101

On veut qu [(z1+z2)²]/(z1z2) 0

d'ou (z1+z2)²>=z1z2

or on sait que |z1|=racinecarré(xa²+ya²)=1

et cos alpha=xa/|z1| sin alpha=ya/|z1|

|z2|=racine carré (xb²+yb²)=1

et cos béta=xb/|z2| sin béta=|xb/|z2|

On fait un système pour z1 et un autre pour z2

et là je bloque je n'arrive pas a faire ce système

j'espère ne pas avoir écrit trop de bétises

Emilie

[Boltzmann_Solver]

merci pour cette aide car je ne voyais pas quelle pouvait etre la forme de delta n+1 pour les autres exercices j'avoue que je suis perdue

pour l'exercie 99

1) j'ai essayer une récurrence

on pose la propriété P(n): Un=a avec a étant une constante

-initialisation u0=constante donc la propriété est vrai au rang 0

-hérédité on admet que la propriété P(n+1) est vrai au rang n soit Un=a

on veut montrer que la propriété P(n+2) est vrai aussi

U{n+2}=3/35U{n+1} + 2/35U{n}

or on sait que U{n+1}= 3/35U{n} +2/35U{n-1}

d'ou U{n+2}=3/35(3/35Un+2/35U{n-1})+2/35Un

U{n+2}=9/35²Un+6/35²U{n-1}+2/35Un

U{n+2}=79/35²U{n}+6/35²U{n-1}

je ne trouve pas la réponse je ne vois pas comment faire pour prouver que les suites (Un) peuvent etre constantes

Pour le 101

On veut qu [(z1+z2)²]/(z1z2) 0

d'ou (z1+z2)²>=z1z2

or on sait que |z1|=racinecarré(xa²+ya²)=1

et cos alpha=xa/|z1| sin alpha=ya/|z1|

|z2|=racine carré (xb²+yb²)=1

et cos béta=xb/|z2| sin béta=|xb/|z2|

On fait un système pour z1 et un autre pour z2

et là je bloque je n'arrive pas a faire ce système

j'espère ne pas avoir écrit trop de bétises

Emilie

[emi94]

pour l'exercie 1 il y a quelque chose que je ne comprend pas

il est écrit: 1) zn = (1/sqrt(2))^n*zo = (1/sqrt(2))^n*4 = 4*2^(-n/2)

je ne vois pas comment vous passer de (1/sqrt(2))^n*4 à 4*2^(-n/2)

[Boltzmann_Solver]

pour l'exercie 1 il y a quelque chose que je ne comprend pas

il est écrit: 1) zn = (1/sqrt(2))^n*zo = (1/sqrt(2))^n*4 = 4*2^(-n/2)

je ne vois pas comment vous passer de (1/sqrt(2))^n*4 à 4*2^(-n/2)

[casidomo]

Les suites

Je remplace alpha par a et beta par b

Remplacer u_n+1 et u_n par leurs expressions en fonction de a et b dans 3/35 u_n+1 + 2/35 u_n. Le calcul est laborieux mais ss difficulté. Essayez de le faire.

Exprimer u_n+2 en fn de a et b puis comparer au calcul précédent.

Pour calculer a et b, exprimer u₂ de 2 manières, l'une à partir de u₀ et u₁, l'autre avec a et b.

On trouve 100 a + 49 b = 198.

Intuitivement, on peut penser que a =1 et b = 2 ; attention il faut justifier le résultat.

Pour cela, faire comme pour u₂ le calcul avec u₃.

Qd n tend vers l'infini, (2/7)ⁿ et (-1/5)ⁿ tendent vers 0 car 0 <2/5 < 1 (de même pour -1/5).

Pour une aide complémentaire, dites-le. Bon courage.

[emi94]

je ne comprend pas le lien entre |z_{n+1} - z_n| = |z_n|*sqrt(3)/2 et Delta_{n+1} = Delta_n*sqrt(3)/2

je ne vois pas comment déduire de Delta n=|z_n|*sqrt(3)/2, Delta_{n+1} = Delta_n*sqrt(3)/2

[Boltzmann_Solver]

je ne comprend pas le lien entre |z_{n+1} - z_n| = |z_n|*sqrt(3)/2 et Delta_{n+1} = Delta_n*sqrt(3)/2

je ne vois pas comment déduire de Delta n=|z_n|*sqrt(3)/2, Delta_{n+1} = Delta_n*sqrt(3)/2

[emi94]

c) Donc Delta_n = (sqrt(3)/2)^n*Delta_0 = (sqrt(3)/2)^n*(4-2*sqrt(2))

Raison = sqrt(3)/2

Premier terme = (4-2*sqrt(2))

Delta_n0 < 0.01

(sqrt(3)/2)^n*(4-2*sqrt(2)) < 0.01

(sqrt(3)/2)^n < 0.01/(4-2*sqrt(2))

n*ln(sqrt(3)/2) < ln(0.01/(4-2*sqrt(2)))

n > ln(0.01/(4-2*sqrt(2))) / ln(sqrt(3)/2) (On renverse l'inégalité car ln(sqrt(3)/2) < 0).

Voilou.

Y a t'il une autre méthode pour trouver n_{0 car nous n'avons pas encore vu les logarithme}

[emi94]

je n'ai aps vu l'erreur puisque je retrouve le même résultat

[Boltzmann_Solver]

Apparemment, tu n'as pas vu mon erreur (petite mais quand même là mis en rouge)

2)a) z_{n+1} - z_n = 4*2^(-(n+1)/2)*exp(i*(n+1)*pi/4) - 4*2^(-n/2)*exp(i*n*pi/4) = 4*2^(-n/2)*exp(i*n*pi/4)*(2^(-1/2)*exp(i*pi/4) - 1) = z_n*(2^(-1/2)*exp(i*pi/4) - 1).

Donc

|z_{n+1} - z_n| = |z_n|*|cos(pi/4)/sqrt(2)-1 + i*sin(pi/4)/sqrt(2)| = |z_n|*sqrt((1/2-1)² + (1/2)²) = |z_n|*sqrt(1/4+1/4) = |z_n|*1/sqrt(2)

Donc Delta_{n+1} = Delta_n/sqr(2)

b) On a bien une suite géométreque (car sous forme an+1 = kan).

c) Donc Delta_n = (1/sqrt(2))^n*Delta_0 = (1/sqrt(2))^n*(2*sqrt(2))

Delta0 = |z1-z0| = |-2+2i| = sqrt( 4 + 4) = 2*sqrt(2)

Raison = 1/sqrt(2)

Premier terme = 2*sqrt(2)

On va bricoler sans les log mais ça va être dur.

Delta_n0 < 0.01

(1/sqrt(2))^n*2*sqrt(2) < 0.01

(1/sqrt(2))^(n+3) < 0.01

2^(-(n+3)/2) < 0.01

Or 2^6 = 64 et 2^7 = 128. Donc 2^-6 = 1/64 = 0.015 et 2^-7 = 0.0078. Donc, il existe a app à ]6,7[ tel que 2^-a = 0.01

Donc vu que 2^ est croissante sur R. On peut identifier : -(n+3)/2 < -a => (n+3)/2 > a => n = 2a-3 ==> n app à [|9, 11|]. Avec 9 exclut. Donc, ce la sera soit 10 soit 11.

2^(-(13/2)) = 1.10 Ca ne marche pas.

Donc, no = 11.

Mais c'est du bricolage. T'es sur de ne pas devoir utiliser les log???

Voilou.

[emi94]

pour le 99 j'ai un peu de mal malgré les aides je ne vois pas vraiment comment le résoudre

Mais j'ai essayer pour la question 1)

voila ce que j'ai trouver

on supose que (U_n) est une suite constante donc U_n=U_n-1

donc U_n+1=3/35*U_n+2/35*U_n-1

U_n+1=5/35U_n

et U_n+2=3/35*U_n+1+2/35*U_n

U_n+2=3/35*(5/35*U_n)+2/35*U_n

U_n+2=(5/70+4/70)U_n

U_n+2=9/70U_n

Donc U_n+1différent de U_n+2

Donc il n'existe pas de suite constante qui app à S exeptée la suite nulle

[Boltzmann_Solver]

pour le 99 j'ai un peu de mal malgré les aides je ne vois pas vraiment comment le résoudre

Mais j'ai essayer pour la question 1)

voila ce que j'ai trouver

on supose que (U_n) est une suite constante donc U_n=U_n-1

donc U_n+1=3/35*U_n+2/35*U_n-1

U_n+1=5/35U_n

et U_n+2=3/35*U_n+1+2/35*U_n

U_n+2=3/35*(5/35*U_n)+2/35*U_n

U_n+2=(5/70+4/70)U_n

U_n+2=9/70U_n

Donc U_n+1différent de U_n+2

Donc il n'existe pas de suite constante qui app à S exeptée la suite nulle

[emi94]

avec les log c'est plus simple c'est vrai je vais faire la première méthode

[Boltzmann_Solver]

avec les log c'est plus simple c'est vrai je vais faire la première méthode

[casidomo]

pour le 99 j'ai un peu de mal malgré les aides je ne vois pas vraiment comment le résoudre

Mais j'ai essayer pour la question 1)

voila ce que j'ai trouver

on supose que (U_n) est une suite constante donc U_n=U_n-1

donc U_n+1=3/35*U_n+2/35*U_n-1

U_n+1=5/35U_n

et U_n+2=3/35*U_n+1+2/35*U_n

U_n+2=3/35*(5/35*U_n)+2/35*U_n

U_n+2=(5/70+4/70)U_n

U_n+2=9/70U_n

Donc U_n+1différent de U_n+2

Donc il n'existe pas de suite constante qui app à S exeptée la suite nulle

[emi94]

Exercice 99

2) Admetons qu'il existe des suites arithmétiques dans S.

donc U_n+1=U₀+(n+1)r et U_n=U₀+nr

d'où U_n+2=3/35*U_n+1+2/35*U_n

U_n+2=3/35*(U₀+(n+1)r)+2/35*(U₀+nr)

U_n+2=3/35*U₀+3/35*(n+1)r+2/35*U₀+2/35*nr

U_n+2=5/35*U₀+r(5/35*n+3/35)

Un+2 n'étant pas de forme arithmétique. Il n'existe pas de suites arithmétiques dans S exeptée la suite nulle.

[emi94]

exercice 99

3)si (Un) est géométrique alors U_n+1=U₀*q⁽ⁿ⁺¹⁾ et U_n=U₀*qⁿ

d'ou U_n+2=3/35*(U₀*q⁽ⁿ⁺¹⁾+2/35*(U₀*qⁿ)

U_n+2=3/35*U₀*qⁿ⁺¹+2/35*U0*qⁿ

U_n+2=U₀*qⁿ(3/35*q+2/35)

Un+2 'étant pas de forme géométrique alors il n'existe pas de suite géométriques dans S de permier terme non nul et de raison non nulle.

[Boltzmann_Solver]

Exercice 99

2) Admetons qu'il existe des suites arithmétiques dans S.

donc U_n+1=U₀+(n+1)r et U_n=U₀+nr

d'où U_n+2=3/35*U_n+1+2/35*U_n

U_n+2=3/35*(U₀+(n+1)r)+2/35*(U₀+nr)

U_n+2=3/35*U₀+3/35*(n+1)r+2/35*U₀+2/35*nr

U_n+2=5/35*U₀+r(5/35*n+3/35)

Un+2 n'étant pas de forme arithmétique. Il n'existe pas de suites arithmétiques dans S exeptée la suite nulle.

[Boltzmann_Solver]

exercice 99

3)si (Un) est géométrique alors U_n+1=U₀*q⁽ⁿ⁺¹⁾ et U_n=U₀*qⁿ

d'ou U_n+2=3/35*(U₀*q⁽ⁿ⁺¹⁾+2/35*(U₀*qⁿ)

U_n+2=3/35*U₀*qⁿ⁺¹+2/35*U0*qⁿ

U_n+2=U₀*qⁿ(3/35*q+2/35)

Un+2 'étant pas de forme géométrique alors il n'existe pas de suite géométriques dans S de permier terme non nul et de raison non nulle.

[casidomo]

fin de l'exercice sur les suites donnée page 1.

Les suites

Je remplace alpha par a et beta par b

Remplacer u_n+1 et u_n par leurs expressions en fonction de a et b dans 3/35 u_n+1 + 2/35 u_n. Le calcul est laborieux mais ss difficulté. Essayez de le faire.

Exprimer u_n+2 en fn de a et b puis comparer au calcul précédent.

Pour calculer a et b, exprimer u₂ de 2 manières, l'une à partir de u₀ et u₁, l'autre avec a et b.

On trouve 100 a + 49 b = 198.

Intuitivement, on peut penser que a =1 et b = 2 ; attention il faut justifier le résultat.

Pour cela, faire comme pour u₂ le calcul avec u₃.

Qd n tend vers l'infini, (2/7)ⁿ et (-1/5)ⁿ tendent vers 0 car 0 <2/5 < 1 (de même pour -1/5).

[emi94]

pour le 4) je pense que j'ai fait une erreur mais jen e la vois pas

je remplace dans U_n+2 U_n+1 et U_n par leur forme en fonction de a et b

U_n+2= 3/35 *(a(2/7)ⁿ⁺¹+b(-1/5)ⁿ⁺¹)+ 2/5 *(a*(2/7)ⁿ+b*(-1/5)ⁿ

U_n+2= 3/35 *a*(2/7)ⁿ⁺¹+ 3/35 *b*(-1/5)ⁿ⁺¹+ 2/35 *a*(2/7)ⁿ+ 2/35 *b *(-1/5)ⁿ

U_n+2= a *(3/35 *(2/7)ⁿ⁺¹+ 2/35 *(2/7)ⁿ)+b(3/35 *(-1/5)ⁿ⁺¹+ 2/35 * (-1/5)ⁿ)

U_n+2=a *(2/7)ⁿ* (5/245 + 14/245)+b*(-1/5)ⁿ*(-3/175 + 10/175)

U_n+2=a * (2/7)ⁿ* 19/145 + b*(-1/5)ⁿ*(-7/175)

je ne vois pas comment répondre a la question a l'aide de ce calcule