Barycentre

[titinee]

Exercice 1 :

Soit ABCD un rectangle de centre O

1) Construire I barycentre de [(A,1)(B,3)] et K barycentre de [(C,1)(D,3)]

En déduire l'ensemble E des points M du plan tels que: ||MA+3MB||=||MC+3MD||

2) Montrer que O est le centre de [iK]

3) Construire le barycentre G des points (A,1) (C,1) et (D,2)

En déduire l'ensemble F des points M du plan tels que: MA+MC+2MD soit colinéaire à BD

4)Construire les barycentres J de [ (B,2) ; (C,1) ] et L [ (A,1) ; (D,2) ]

Montrer que IJKL est un parallélogramme de centre O

Merci d'avance

[casidomo]

Exercice déjà résolu il y a une dizaine de jours. Une petite recherche ds les pages précédentes n'est pas inutile.

Une piste :

Exprimer "vectoriellement" I barycentre de A et B, puis MA + 3MB avec I

Même chose avec K

Ca vous conduit à cette relation qu'il faut interpréter : ||MI|=||MK||

Bon travail.

[Barbidoux]

Soit ABCD un rectangle de centre O

1) Construire I barycentre de [(A,1)(B,3)] et K barycentre de [(C,1)(D,3)]

En déduire l'ensemble E des points M du plan tels que: ||MA+3MB||=||MC+3MD||

Les relations sont vectorielles

I barycentre de [(A,1)(B,3)] ==> IA+3*IB=0

K barycentre de [(C,1)(D,3)] ==> KC+3*KD=0

||MA+3MB||=||MC+3MD|| ==> ||MI+IA+3*(MI+IB)||=||MK+KC+3*(MK+KD)||

||4*MI+IA+3IB||=||4*MK+KC+3*KD|| ==> ||4*MI||=||4*MK||==>||MI||=||MK|| et le lieu de M est la médiatrice de IK

2) Montrer que O est le centre de [iK]

IA+3*IB=0 ==> IB+BA+3*IB=0 ==> 4*IB=AB ==> IB=AB/4

De même KC+3*KD=0 ==> KD=CD/4=BA/4

--------

IA+3*IB=0

KC+3*KD=0 ==>IA+3*IB+KC+3*KD=0 ==>IO+OA+3*IB+KO+OC+3*KD=0 ==> IO+KO=0 ==> O est le centre de [iK]

3) Construire le barycentre G des points (A,1) (C,1) et (D,2)

En déduire l'ensemble F des points M du plan tels que: MA+MC+2MD soit colinéaire à BD

barycentre G des points (A,1) (C,1) et (D,2) ==> GA+GC+2*GD=0

GM+MA+GM+MC+2*GM+2*MD=0 ==> MA+MC+2MD=4*MG

Pour que MA+MC+2MD soit colinéaire à BD il faut que MA+MC+2MD=k*BD soit 4*MG=k*BD c’est-à-dire que M appartienne à la droite BD

4)Construire les barycentres J de [ (B,2) ; (C,1) ] et L [ (A,1) ; (D,2) ]

Montrer que IJKL est un parallélogramme de centre O

J barycentre de [ (B,2) ; (C,1) ] ==> 2*JB+JC=0 ==> 2*(JI+IB)+JI+IB+BC=0 ==> 3*JI+3*IB+BC=0

L barycentre de [ (A,1) ; (D,2) ]==> LA+2*LD=0==>LK+KD+DA+2*(LK+KD)=0==>DA+3*LK+3*KD=0

3*JI+3*IB+BC+DA+3*LK+3*KD=0 et comme IB+KD=0 et BC+DA=0 ==> 3*JI+3*LK=0 ==> IJ=KL et le quadrilatère IJKL est un parallélogramme de centre O puisque O est le milieu IK et que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, centre du parallélogramme