Dm Maths Spé

[louxo]

Pour coder un message,on procède de la manière suivante: à chacune des 26 lettres on commence par associer un entier n de l'ensemble E={0;1;2;3;4;...;24;25} selon le tableau suivant

a--0 b--1 c--2 d--3 e--4 f--5 g--6 h--7 i--8 j--9 k--10 L--11 m--12 n--13 o--14 p--15 q--16 r--17 s--18 t--19

u--20 v--21 w--22 x--23 y--24 z--25

a et b etant deux entiers naturels donnés,on associe à tout entier n de E le reste de la division euclidienne de (an+b) par 26; ce reste est alors associé à la lettre correspondante

EXEMPLE: pour coder la lettre la lettre P avec a=2 et b=3, on procède de la manière suivante: étape1; on lui associe l'entier n=15 . étape2; le reste de la division euclidienne de 2x15+3 =33 par 26 est 7. étape 3; on associe 7 à H . Donc P est codé par H

QUESTIONS:

1) que dire du codage obtenu lorsque a=0?

2) Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit a=13

3) DANS TOUTE LA SUITE DE L'EXERCICE, ON PREND a=5 et b=2

a) on considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers n et p

montrer, que si 5n+2 et 5p+2 ont le meme reste de la division euclidienne par 26 alors n-p est un multiple de 26

en déduire que n=p

b) Coder le mot AMI

4)On se propose de décoder la lettre E

a) montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l'élément n de E tel que 5n-26y=2 ou y est un entier

b) on considère l'équation 5x-26y=2 avec x et y entiers relatifs

#) donner une solution particulière de l'équation

#)résoudre l'équation 5x-26y=2

#)en déduire qu'il existe un unique couple (x;y) solution de l'équation précédente avec 0<=x<=25

c) Décoder la lettre E

Merci de m'aider pour ce DM car je n'y arrive vraiment pas car j'ai vraiment du mal à le comprendre

merci d'avance

[Boltzmann_Solver]

Bonjour louxo,

T'as déjà vu les conguences, je suppose?

Mais on peut faire jusqu'au 3) sans. Donc, je te montre jusque là.

1) Si a=0, la première application est constante et donc, le codage sera nul (On obtiendrait CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC)

2) Si a = 13.

A : 13*0 + b = b. Donc, le reste b vaut b.

C : 13*2 + b = 26 + b. Donc, le reste par définition vaut b aussi. Donc, a=13 ne peut être employé pour le codage car, il apparaît un recouvrement.

3)

a) Supposons qu'il existe n et p app à Z avec le même reste par la division euclidienne de 5x+2 par 26. Donc, il existe kn et kp app à Z tel que

5n+2 = 26kn + r

5p+2 = 26kp + r

On soustrait :

5(n-p) = 26(kn-kp) = 2*13*(kn-kp).

Or, n-p app à Z et kn - kp aussi par stabilité de Z. Or, 26 ne peut être recréer même partiellement par 5 (car 5 := de 2 et 13). Donc il existe ks dans Z tel que n-p = 26ks. CQFD

Or, il n'existe que 26 caractères (donc n app à [|0,25|]). Donc, ks vaut 0 car pour toute autre valeur de ks, p n'appartient plus à E. Donc, n=p.

b) J'ai la réponse mais j'attends que tu me détailles les calculs.

Bs

[Boltzmann_Solver]

Pour la suite, il faut bidouiller un peu.

(Je ne suis pas matheux de formation, donc, il y a peut être mieux...)

On cherche à résoudre :

a) On sait que E correspond au code 4. Donc,

il existe k dans Z, tel que :

5n + 2 = 26k + 4

5n-26k = 2. CQFD.

b) Une solution particulière est celle qui résout : 5x - 26y = 1. Une solution évidente est x1=-5 et y1 = -1

En effet, -5*5-(-1)*26 = 1. Or, on cherche 5x-26y=2. Donc, on multiplie par deux la solution particulière.

5x1-26y1 = 1

et 5x1*2-26y1*2 = 2.

Par identification.

x2 = -10

y2 = -2.

Pour l'unicité, j'ai un doute pour le moment.

c)

Donc une solution est -10. Or, cette solution est 26-périodique. Donc, on ajoute 26 pour appartenir à E. Donc

x2 + 26 = 16. Donc la lettre décodée est Q.

Voilou.

BS

Ps : Edit Merci elp j'avais fait une coquille...

[louxo]

merci beaucoup pour ton aide c'est vraiment sympa de ta part !!!

mais pour la 4)b) tu est sur pour la résolution de l'équation?? car on devrait tomber sur un ensemble de solution donc avec une variable k appartenant aux entiers ( naturels ou relatifs )

j'ai aussi du mal avec l'unicité .

en tout cas je te remercie pour ton aide !

bonne continuation

louxo

[Boltzmann_Solver]

merci beaucoup pour ton aide c'est vraiment sympa de ta part !!!

mais pour la 4)b) tu est sur pour la résolution de l'équation?? car on devrait tomber sur un ensemble de solution donc avec une variable k appartenant aux entiers ( naturels ou relatifs )

j'ai aussi du mal avec l'unicité .

en tout cas je te remercie pour ton aide !

bonne continuation

louxo

[elp]

5x-26y=2

5(-10)-26(-2)=2 (une solution particulière)

par soustraction membre à membre:

5x+50-26y-52=0

5(x+10)=26(y+2)

5 divise 5(x+10) dc divise 26(y+2) et comme 5 est premier avec 26 alors 5 divise y+2 et:

y+2=5k (k entier)

y=5k-2

5x+50=26(y+2)=26(5k-2+2)=130k

5x=130k-50

x=26k-10

les solutions st de la forme :

x=26k-10 et y=5k-2

On veut x entre 0 et 25

0<=26k-10<=25

0<=26k-10 donne 10<=26k et 10/26<=k dc 1<=k car on travaille avec des entiers.

26k-10<=25 donne 26k<=35 dc k<=35/26 dc k<=1 car on travaille avec des entiers.

Il y a dc une seule possibilité, c'est k=1

x=26k-10=16

y=5k-2=3

[Boltzmann_Solver]

C'est bien comme je le pensais. On démontre l'unicite à l'aide de la fraction en 1/26. Vu que la périodicité est de 26 et et que le PGCD(26,5) = 1. Alors les solutions de la réciproque sont aussi 26-périodique.

Ca marche.

Merci encore pour ma coquille. Il faudrait que je me relise plus attentivement.

Bonne fête elp.

[elp]

C'est bien comme je le pensais. On démontre l'unicite à l'aide de la fraction en 1/26. Vu que la périodicité est de 26 et et que le PGCD(26,5) = 1. Alors les solutions de la réciproque sont aussi 26-périodique.

Ca marche.

Merci encore pour ma coquille. Il faudrait que je me relise plus attentivement.

Bonne fête elp.

[louxo]

merci beaucoup votre aide !!!

bonnes fêtes a vous aussi !

à+