Distance D'un Point À Une Courbe

[JulesTSD]

Bonjour,

j'ai en devoir maison un excercice pratique d'une épreuve de mathématique.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal la courbe C est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point B a pour coordonnées (2;-1).

on admet que la distance BM admet un minimum quand M décrit C. Ce minimum est appelé distance du point B à la courbe C.

1) Réaliser une figure correspondant à cette situation.

- M est un point quelconque de la courbe C. Faire une conjecture sur la position du point M pour laquelle la distance BM semble minimale.

je trouve environ 2.8. ce point d'appelle M0.

2) on se propose de déterminer la valeur exacte de la distane du point B à la courbe C

- determiner parle calcule la position du point M0.

- quelle est la valeur exacte de la distance du point B à la courbe C ?

3) Vérifier par la calcul la conjecture formulée au 1)

Alors j'ai commcé par dire que BM(x-2;e^(x)+1) puis BM= racine carrée de (x-2)²+ (e^x+1)²

on cherche x pour que cette expression soit minimum

on pose f(x)= (x-2)²+(e^(x)+1)²

on cherche le minimum de f.

j'ai calculé f '(x) et j'ai trouvé 2 ( x-2 + e^(2x) +e^(x)

et pour la suite je n'arrive pas a voir ce qu'il faut faire

merci de m'aider.

[Barbidoux]

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal la courbe C est la courbe représentative de la fonction exponentielle et le point B a pour coordonnées (2;-1).

on admet que la distance BM admet un minimum quand M décrit C. Ce minimum est appelé distance du point B à la courbe C.

1) Réaliser une figure correspondant à cette situation.

- M est un point quelconque de la courbe C. Faire une conjecture sur la position du point M pour laquelle la distance BM semble minimale.

je trouve environ 2.8. ce point d'appelle M0.

2) on se propose de déterminer la valeur exacte de la distane du point B à la courbe C

- determiner par le calcule la position du point M0.

M{x; exp(x)} et B{2; -1} ==> f(x)=MB^(2)=(x-2)^2+(exp(x)+1)^2

- quelle est la valeur exacte de la distance du point B à la courbe C ?

MB=√((x-2)^2+(exp(x)+1)^2)

3) Vérifier par le calcul la conjecture formulée au 1)

On cherche le minimum de MB^2

f'(x)= 2*exp(x) (1+exp(x)) + 2*(x-2)

f'(x) admet une racine évidente qui est x=0 elle est <0 et + après ==>

x.............................0.............................

f'(x)........(-)............(0)...........(+)...........

f(x)....decrois......Min.........crois............

MB est minimal pour x=0 ==> f(x)=8 ==> BM=√8=2*√2=2,828