Devoir Maison Sur Les Log

[manuchao87]

Bonjour, voila j'ai eu un gros devoir maison pendant ces vacances malheureusement j'ai beaucoup de mal avec la partie log et c'est pourquoi je demande votre aide sur les 2 exercices suivant:

Exercice n°1

Partie A

1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +infinie[ par:

f(x)=-2lnx+ax²+bx, ou a et b sont deux nombres réels.

On appelle C la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; u; v), d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Sachant que la courbe C passe par le point A (1; -(13/2)) et que le coefficient directeur de la tangente en A est égal à -6, déterminer les valeurs des nombres a et b.

2. Pour la suite du problème, on prendra f(x)=-2lnx+(5/2)-(9/x)

a. Déterminer la limite en 0 de la fonction f.

Que peut-on en déduire pour la courbe C?

b. Vérifier que l'on peut écrire: f(x)=x²(-2(lnx/x²)+(5/2)-(9/x)).

En déduire la limite en +infinie de la fonction f.

Partie B

1. On désigne par f' la fonction dérivée de f sur l'intervalle ]0; +infinie[

a. Calculer f'(x)

b. Etudier le signe de f'(x)

c. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ]0; +infinie[

2. a. Démontrer que , dans l'intervalle [3;4], l'équation f(x)=0 admet une unique solution, notée x₀.

b. Donner, à l'aide d'une calculatrice, un encadrement d'amplitude 0.01 de x₀.

3. Déterminer une équation de la droite D tangente à la courbe C au point d'abscisse 1.

4. Tracer dans un repère (O; u,v ) la droite D et la courbe C.

Exercice n°2

Partie A

Soit g la fonction définie sur ]0; +infinie[ par g(x)=-x+xln(x), ou ln désigne le logrithme népérien.

1. Résoudre dans l'intervalle ]0; +infinie[ l'équation g(x)=0

2. Résoudre dans l'intervalle ]0; +infinie[ l'équation g(x)>0

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]0; +infinie[ par f(x)=(-3/4)x²+ (1/2)x²ln(x).

On appelle T la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i; j) d'unité: 2 cm.

1. Déterminer lim_x->+infinief(x) et lim_x->0f(x)

2. Montrer que f'(x)=g(x). Utiliser les résultats de la partie A pour établir le tableau de variations de f.

3. Calculer f(e^(3/2)). On fera apparaître le détail des calculs.

4. Soit A le point d'abscisse 1 de T.

Déterminer une équation de la tangente t en A à la courbe T.

5. Tracer dans le repère (O; i; j) la tangente t ainsi que la partie de la courbe T relative à l'intervalle ]0; 6].

6. Soit F la fonction définie sur ]0; +infinie[ par:

F(x)=(1/6)x³ln(x)-(11/36)x³.

Montrer que F est une primitive de f sur ]0; +infinie[.

Voila, je vous remercie d'avance pour votre aide.

[casidomo]

?

[casidomo]

?Partie A

1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +infinie[ par:

f(x)=-2lnx+ax²+bx, ou a et b sont deux nombres réels.

On appelle C la représentation graphique de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; u; v), d'unités graphiques 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Sachant que la courbe C passe par le point A (1; -(13/2)) et que le coefficient directeur de la tangente en A est égal à -6, déterminer les valeurs des nombres a et b.

2. Pour la suite du problème, on prendra f(x)=-2lnx+(5/2)-(9/x)

Je ne comprends pas l'enchaînement de ces 2 questions. Pouvez-vous revoir l'énoncé ?

[Barbidoux]

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Exercice 1

Partie A

1-------------------------

f(x)=-2*ln(x)+a*x^2+b*x

f’(x)=b - 2/x + 2 a x

f(x) passe par A{1; -13/2} ==> f(1)=a+b=-13/2

le coefficient directeur de la tangente en A est égal à -6

f’(1)=b-2+2*a=-6

En résolvant le système d’équation

a+b=-13/2

b-2+2*a=-6

on obtient a=5/2 et b=-9 ==>f(x)=-2*ln(x)+5*x^2/2-9*x

2-------------------------

x->0 alors -ln(x) -> et x^2 et x ->0 d’où f(x) ->

f(x)=-2*ln(x)+5*x^2/2-9*x=x^2*(-2*ln(x)/x^2+5*/2-9/x)

x-> alors -2*ln(x)/x^2 ->0 et -9/x ->0 (croissance comparées de fonctions) f(x) ≈ x^2*(5*/2) ->

----------------------------

Partie B

f’(x)=5*x-2/x-9=(5*x^2-9*x-2)/x

Le ploynôme 5*x^2-9*x-2 admet deux racines x=-1/5 et x=2 et est du signe de x^2 à l’extérieure des racines

x...........0..........................2.........................

f’(x).....................(-).........(0)........(+)..........

f(x)................decrois.....Min......crois.......

f(3)=-9/2-3*ln(3) <0

f(4)=4-2*ln(4) >0

La fonction f(x) étant croissante de x=2 à + , f(3) étant negatif et f(4)>0 cela signifie que son graphe coupe l’axe des x en x₀ sur l’intervalle [3,4]. On détermine la valeur de x₀ par dichotomie :

x...............f(x).........signe

3...........-6,697..........–

4............1,227..........+

3,9.........0,2030........+

3,8........-0,7700.......–

3,85......-0,2899.......–

3,87......-0,09426......–

3,88.......0,004330....+

3,87< x₀< 3,88

La tengente passe par le point {1, -13/2} son coefficient directeur vaut

f’(1)=-6 et son équation s’écrit y=-6*(x-1)-13/2 =-6*x-1/2

Suite à venir....

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[manuchao87]

Merci pour ces réponses sinon j'ai recopié l'énoncé exactement comme il était, je ne sais pas si il y'a eu une erreur mais je suis vraiment perdu avec les log.

[manuchao87]

Oh oui excusez moi j'ai fait une grosse erreur en recopiant la question 2 Partie A du 1er exercice ce n'est pas "f(x)=-2lnx+(5/2)-(9/x)" mais "f(x)=-2lnx+(5/2)x²-9x"

Désolé pour cette faute

[manuchao87]

Quelqu'un peut m'aider pour l'exercice 2 s'il vous plait ?

[Barbidoux]

Exercice n°2

Partie A

Soit g la fonction définie sur ]0; +infinie[ par g(x)=-x+xln(x), ou ln désigne le logrithme népérien.

1. Résoudre dans l'intervalle ]0; +infinie[ l'équation g(x)=0

g(x)=-x+xln(x)=0 ==> 0=-x+xln(x) x*(ln(x)-1)=0 ==> x=0 et x= e

2. Résoudre dans l'intervalle ]0; +infinie[ l'équation g(x)>0

x.......0.....................(e)......

g(x)..(0).....(-)..........(0).....+

g(x)>0 pour x appartenant à ]e; [

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]0; +infinie[ par f(x)=(-3/4)x2+ (1/2)x2ln(x).

On appelle T la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i; j) d'unité: 2 cm.

1. Déterminer limx->+infinief(x) et limx->0f(x)

f(x)=-3*x^2/4+x^2*ln(x)/2=x^2*(ln(x)/2-3/4)

Lorsque x-> :inifini: ln(x)/2>> -3/4 et f(x) ≈ x^2*ln(x)/2 ->

Lorsque x-> 0 ln(x)/2>> 3/4 et f(x) ≈ x^2*ln(x)/2 =x*x*ln(x)/2 or lorsque x->0 x*ln(x)->0 ==> f(x)->0

2. Montrer que f'(x)=g(x). Utiliser les résultats de la partie A pour établir le tableau de variations de f.

f’(x)=-3*x/2+x*Ln(x)+x/2=-x+x*ln(x)

3. Calculer f(e(3/2)). On fera apparaître le détail des calculs.

f(e(3/2))=exp(3/2)^2*((3/2)/2-3/4)=0

4. Soit A le point d'abscisse 1 de T.

Déterminer une équation de la tangente t en A à la courbe T.

La tangente à pour expression y=f’(1)*(x-1)+f(1)=-(x-1)-3/4=-x+1/4

5. Tracer dans le repère (O; i; j) la tangente t ainsi que la partie de la courbe T relative à l'intervalle ]0; 6].

6. Soit F la fonction définie sur ]0; +infinie[ par:

F(x)=(1/6)x3ln(x)-(11/36)x3.

Montrer que F est une primitive de f sur ]0; +infinie[.

F’(x)=x^2*ln(x)/2+x^2/6-11*x^2/12=-3*x^2/4+x^2*ln(x)/2

[manuchao87]

Merci beaucoup une nouvelle fois