j3ss-s3cr3t Posté(e) le 17 décembre 2009 Signaler Posté(e) le 17 décembre 2009 Bonjour, je suis nouvelle, j'ai visiter quelques discussions et beaucoup de personnes aident les autres en diffuclté, j'ai un devoir à la maison pour la rentrée, trois exercice, j'en ai fait deux, et j'ai des problèmes pour le premier, puis-je vous en faire part en éspérant que vous me répondiez? Soit f(x)= x + exp(-2x) - exp(-x) 1) Calculer Limite de f(x) quand x tend vers + l'infini. Prouver que f(x) = ( (xexp(x))(exp(x)) +1-exp(x) ) / (exp(2x)) en déduire limite de f(x) quand x tend vers - infinie. 2) Calculer f'(x) puis établir que pour tout x réel f'(x)= (exp(-x)-1)(-2exp(-x)-1), en déduire le signe de f'(x), le tableau de variation de f et la courbe représentative de f. 3) Déterminer les primitives de f puis de g primitive de f telle que g(0)=1 4) On appelle Un pour n entier naturel la solution positive de l'équation f(x)=n a) avec votre calculatrice, donner les valeurs approchées de U1, U2 à 0.1 près par défaut: faire apparaître U1, U2 sur le graphique. aide du prof: ils vérifient f(U1)=1 et f(U2)=2 b) Démontrer que pour tout entier naturel n il existe un seul réel positif Un tel que f(Un)=n (par récurrence) c) Prouver que cette suite est croissante d) prouver que pour x supérieur ou égale à 0 f(x) inférieur ou égale à x en déduire que limite de Un quand n tend vers + infinie = + infinie 5) Démontrer que quelque soit n appartenant à N 1 + exp(-2) + exp(-4) + ... + exp (-2n) = (1 - exp(-2n - 2))/(1 - exp(-2)) (reconnaître la somme des termes d'une suite géométrique. 6) (en utilisant le 5°) Soit Vn définie pour n entier naturel par Vn=f(n); prouver que cette suite est somme d'une suite arithmétique et de deux suites géométrique et en déduire que Sn= Epsilon k=0 (en dessous) n (au dessus) ( Je crois que c'est la somme des Vn en commencant par k=0 de n) et limite de Sn quand n tend vers + infinie. La question 1 est faite, on trouve Lim de f(x) quand x tend vers + infinie = + infinie car Limite de 1/exp(2x) quand x tend vers + infini = 0 et limite de -1/exp(x) quand x tend vers plus l'infini = 0, et on trouve bien f'(x). On trouve que limite de f(x) quand x tend vers - infinie = + infini mais je n'ai pas de justification. NB: Mon prof veut que tout soit rédiger et j'ai beaucoup de mal avec ça, vous pourriez m'aidez s'il vous plait?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 17 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 décembre 2009 Bonsoir Jess, Bienvenue sur E-bahut!! Vu que l'on a le temps, on va procéder question par question. 1) C'est faussement justifié. lim_{x-->+inf} f(x) = lim_{x-->+inf} x + exp(-2x) - exp(-x) = lim_{x-->+inf} x(1 + exp(-2x)/x + exp(-x)/x) = +inf car exp(-2x)/x tend vers (0+)/(+inf) = 0+ et idem pour exp(-x)/x. Donc lim_{x-->+inf} f(x) = lim_{x-->+inf} x = +inf. Voila une justification. Il faut que tu arrives à lever essaye de la même manière pour -inf qui est un peu moins évidente.
j3ss-s3cr3t Posté(e) le 18 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 18 décembre 2009 Coucou! D'abord merci aux gens qui ont répondu, la question 2 est faite entièrement, en fait je vous explique, les Dm de maths on les fait par deux, La fille qui est avec moi est beaucoup plus forte que moi, donc je lui ai passé ma feuille que j'ai eu le temps de faire ce matin lorsque je n'avais pas cours, elle m'a dit que j'avais juste, donc question 1 et 2 c'et bon. Par contre les primitives j'y comprends absolument rien que quand ça se voit genre primitive de 2x c 'est x². Donc là je suis bloqué. La question 4 (déjà les suite j'aime pas, je comprends rien non plus, même si les calculs en classe sont fait, mais si on ne me guide pas je n'y arrive pas) f(x)=n c'est à dire? (il a pas fait une faute de frappe mon prof?) f(n)? sur ma calculatrice je dois mettre la fonction f à partir de là j'aurais les termes. b) Je sais qu'on va faire par récurrence donc pour n=0 f(0)= 0+ exp(-2 X 0) - exp ( -0) = 0 + 1 - 1= 0 On suppose que pour un certain n entier naturel la condition (f(n)=n) et vérifiée, démontrons le au rang n+1 soit f(Un)=n La j'arrive pas. c) On fait Un+1 - n et on cherche son signe? en sachant qu'il faut qu'elle soit positive pour être croissante? Et les trois autres question j'ai pas encore chercher =S je m'y met dès demain! Merci de répondre si vous avez trouvez quelques réponses! et Bonne vacance!
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 18 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 décembre 2009 Bonsoir Jess, Bon, j'aurai aimé que tu répondes au questions que j'avais posé. Mais bon, allons, je vais t'apporter une première correction des questions que tu as survolé. 1) lim_{x-->+inf} f(x) = lim_{x-->+inf} x + exp(-2x) - exp(-x) = lim_{x-->+inf} x(1 + exp(-2x)/x - exp(-x)/x) = +inf car exp(-2x)/x tend vers (0+)/(+inf) = 0+ et idem pour exp(-x)/x. Donc lim_{x-->+inf} f(x) = lim_{x-->+inf} x = +inf. lim_{x-->-inf} f(x) = lim_{x-->-inf} x + exp(-2x) - exp(-x) = lim_{x-->-inf} exp(-2x)(x*exp(2x) +1 - exp(x)) = +inf car d'après le Th des croissances comparés, x*exp(2x) tend vers 0 et exp(x) tend vers 0. Donc la limite de f(x) est équivalente à la limite de exp(-2x). ( (xexp(x))(exp(x)) +1-exp(x) ) / (exp(2x)) : Cette formule n'est pas égale à f(x). As tu bien recopié l'énoncé? 2) f'(x) = 1 - 2*exp(-2x) + exp(-x). En posant exp(-x) = X, on arrive à f'(x) = 1 -2X^2+X. Delta = 1^2 + 4*2*1 = 9 = 3^2. Donc X1 = (-1-3)/(-2*2) = 1 Et X2 = (-1+3)/(-4) = -1/2. exp étant positif, on ne peut que considèrer les racines positives. De plus, on sait que l'on peut factoriser par 1. Donc, f'(x) = (X-1)(aX+b) = aX^2 +bX -aX-b = aX^2 +(b-a)X -b. Par identification, a = -2 et b=-1. Et on vérifie bien que b-a =1. Donc f'(x) = -(X-1)(2X+1). On retrouve bien le résultat escompté (je te laisse réecrire f' avec les exp) f"(x) >0 => exp(-x)-1 < 0 car (-exp(-2x)-1) < -1 sur R. exp(-x) < 1 vu que ln croissante sur R+* -x < ln(1) = 0 x > 0 Donc, f est croissante sur R+ et décroissante sur R- avec un minimum en zéro. 3) Là, tu as deux moyens de procéder. Soit tu connais la formule pour intégrer les exp. Soit, tu utilises l'intégration des fonctions composées. Vu que tu as l'air d'avoir des difficultés, il faut que tu saches que primitive de exp(ax) = exp(ax)/a pour a non nul. Donc, soit F, l'ensemble des primitives de f. F(x) = x^2/2 - exp(-2x)/2 + exp(-x) + C ou C est une constante dans R. On te dit que g€F et que g(0) = 1 g(0) -exp(0)/2 +exp(0) + C = 1 => C = 1/2 Donc, g(x) = x^2/2 - exp(-2x)/2 + exp(-x) + 1/2. 4) a) J'ai rien pour faire tout cela. b) Pourquoi une récurrence, c'est une demande de ton prof, mais je trouve bizare de passer par là??? Il y a beaucoup plus simple. On sait que f est strictement croissante de R+ dans R+. Donc, d'après le théorème de la bijection (Si tu ne le connais pas, cites le TVI que tu as vu en seconde), il existe un unique Un tel que f(Un) = n pour tout n de N. c) Appliquons la relation en n et n+1. n+1 = f(Un+1) n = f(Un) Donc, f(Un+1) - f(Un) = 1. Or, on s'interesse à la restriction sur R+ des solutions de f. Donc, Un => 0 pour tout n de N. Or, sur ce domaine, f est monotone croissante. Ensuite, on sait que f(Un+1) - f(Un) = 1. Donc f(Un+1) - f(Un) > 0 ==> Un+1 - Un > 0. Conclusion la série Un est croissance pour tout n de N. La suite demain.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 19 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 décembre 2009 Correction de mes coquilles (j'ai du m'abstenir hier soir...) 1) lim_{x-->+inf} f(x) = lim_{x-->+inf} x + exp(-2x) - exp(-x) = lim_{x-->+inf} x(1 + exp(-2x)/x - exp(-x)/x) = +inf car exp(-2x)/x tend vers (0+)/(+inf) = 0+ et idem pour exp(-x)/x. Donc lim_{x-->+inf} f(x) = lim_{x-->+inf} x = +inf. lim_{x-->-inf} f(x) = lim_{x-->-inf} x + exp(-2x) - exp(-x) = lim_{x-->-inf} exp(-2x)(x*exp(2x) +1 - exp(x)) = +inf car d'après le Th des croissances comparés, x*exp(2x) tend vers 0 et exp(x) tend vers -inf. Donc la limite de f(x) est équivalente à la limite de exp(-2x). ( (xexp(x))(exp(x)) +1-exp(x) ) / (exp(2x)) = (x*exp(2x) + 1 - exp(x))/exp(2x) = x + exp(-2x) - exp(-x) = f(x). 3) Là, tu as deux moyens de procéder. Soit tu connais la formule pour intégrer les exp. Soit, tu utilises l'intégration des fonctions composées. Vu que tu as l'air d'avoir des difficultés, il faut que tu saches que primitive de exp(ax) = exp(ax)/a pour a non nul. Donc, soit F, l'ensemble des primitives de f. F(x) = x^2/2 - exp(-2x)/2 + exp(-x) + C ou C est une constante dans R. On te dit que g€F et que g(0) = 1 0/2 - exp(0)/2 +exp(0) + C = 1 => C = 1/2 Donc, g(x) = x^2/2 - exp(-2x)/2 + exp(-x) + 1/2.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 19 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 décembre 2009 La suite : f(x)= x + exp(-2x) - exp(-x) = x + exp(-x)(exp(-x)-1). Or exp est strictment positif sur R et exp(-x) <=1 sur R+. Donc exp(-x) - 1 1-1 = 0 z et par produit d'un nombre positif, exp(-x)(exp(-x)-1) 0. Et enfin on ajoute x. x + exp(-x)(exp(-x)-1) x => f(x) x. CQFD. Vu que pour tout n de N Un => 0, Un+1 > f(Un+1) = f(Un) + 1 = Un + 1 + exp(-2x) -exp(-x). Si n tend vers +inf, les exp s'annulle et Un+1 => Un + 1 + exp(-2x) -exp(-x) evirons égale à Un + 1. Donc, pour un n suffisement grand, on a un comportement arithmétique de Un. Soit N, la rang à partir duquel Un + 1+ exp(-2x) -exp(-x) environs égal à Un + 1. Donc UN+1 => UN + 1. En appliquant pour tout n => N, on obtient : Un => UN + (n-N) = n + (UN-N). En passant à la limite, on obtient lim_{n-->+inf} Un => lim_{n-->+inf} n = +inf. Donc Un tend bien vers +inf. 5) Tu sais de ton cours que : somme_{k=0}^{n+1} x^k = (1-x^(n+2))/(1-x) pour x != 1. On va faire une décomposition pair/impair de la somme en prenant un n pair. Donc somme_{k=0}^{n+1} x^k = somme_{k=0}^{n/2} x^(2k) + somme_{k=0}^{n/2} x^(2k+1) = somme_{k=0}^{n/2} x^(2k) + x*somme_{k=0}^{n/2} x^(2k) = (1+x)*somme_{k=0}^{n/2} x^(2k). En prenant x = exp(-1) (qui est différent de 1) et m = n/2 (m app à N aussi car on a pris n pair), on obtient : somme_{k=0}^{n/2} x^(2k) = somme_{k=0}^{m} exp(2k) qui est somme qui nous interesse. On arrive à : somme_{k=0}^{n+1} x^k = somme_{k=0}^{2m+1} exp(-k) = (1-exp(-2m-2))/(1-exp(-1)) et somme_{k=0}^{n+1} x^k = (1+exp(-1))*somme_{k=0}^{m} exp(-2k). Donc, (1+exp(-1))*somme_{k=0}^{m} exp(-2k) = (1-exp(-2m-2))/(1-exp(-1)) somme_{k=0}^{m} exp(-2k) = (1-exp(-2m-2))/((1-exp(-1))*(1+exp(-1))) (On reconnait une forme a²-b²) somme_{k=0}^{m} exp(-2k) = (1-exp(-2m-2))/(1²-exp(-1)²) somme_{k=0}^{m} exp(-2k) = (1-exp(-2m-2))/(1-exp(-2)) CQFD. On retrouve bien ton résultat. Autre méthode plus simple. Tu sais de ton cours que : somme_{k=0}^{n+1} x^k = (1-x^(n+2))/(1-x) pour x != 1. En prenant x = exp(-2), on obtient : somme_{k=0}^{n+1} exp(-2k) = (1-exp(-2(n+2)))/(1-exp(-2)). CQFD, on retrouve bien la même chose!!! Je me suis un peu amusé sur cette question vu qu'il n'y a pas beaucoup de monde et je pense que ça pourra t'apprendre un truc pour le futur (La décomposition de somme). 6) Première remarque : La lettre utilisé pour la somme s'appelle sigma (sous sa forme majuscule) et non epsillon. Tu le sauras pour la prochaine fois. Il suffit d'appliquer le résultat du dessus. Sn = somme_{k=0}^n Vn Sn = somme_{k=0}^n k + exp(-2k) - exp(-k) Sn = somme_{k=0}^n k + somme_{k=0}^n exp(-2k) - somme_{k=0}^n exp(-k) (On retrouve bien une série arithmétique de raison 1 et deux séries géométriques de raison exp(-1) et exp(-2). Sn = n(n+1)/2 + (1-exp(-2n-2))/(1-exp(-2)) - (1-exp(-n-1))/(1-exp(-1)) Et en passant à la limite, on retoruve bien que Sn tend vers +inf (convergente des géos et divergence de l'arithmétique. Voila un peu de lecture. Si tu as des questions, n'hésite pas. BS
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 19 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 décembre 2009 En complément de BS (faisait suite au post de BS de 12 h 50 et envoyé sans avoir eu connaissance du message suivant de BS....) f(x)=x+exp(-2*x)-exp(-x) 1----------------------- lorsque x-> f(x)= + 0 -0 -> x<0 ==> f(x) =-|x|+ exp(2*|x|)-exp(|x|) lorsque x-> - limite de f(x) =x+exp(-2*x)-exp(-x)= limite de f(x) =-|x|+ exp(2*|x|)-exp(|x|) lorsque |x|-> :inifni: = (puisque exp(2*|x|) >> |x| et exp(|x|) lorsque |x| -> ) 2----------------------- f’(x)=1-2*exp(-2*x)+exp(-x)=1-exp(-x)-2*exp(-2*x)+2*exp(-x)=1-exp(-x)+2*exp(-x)*(1-exp(-x))=(1-exp(-x))*(1+2*exp(-x)) (1+2*exp(-x)) >0 qq soit x ==> f’(x) est du signe de (1-exp(-x)) donc >0 pour x>0 f(x) est décroissante pour x<0 croissante pour x>0 et passe par un minimum qui vaut f(0)=0 pour x=0 3----------------------- f(x)=x+exp(-2*x)-exp(-x) x^2/2 est la primitive de x -exp(-2*x)/2 est le primitive de exp(-2*x) -exp(-*x) est le primitive de exp(-x) donc g(x)=x^2/2-exp(-2*x)/2+exp(-x)+ cst g(x)=1 ==> cst=1/2 et finalement g(x)=x^2/2-exp(-2*x)/2+exp(-x)+1/2 4--------------------------- U1=1,21 U2=2,11 U3=3,05 U4=4,02 un sont les intersections des graphe de h(x,n)=f(x)-n avec l’axe des x. Les solutions Un de f(x)-n=0 sont obtenues pour des valeurs croissantes de x pour lequelles la valeur du polynôme exp(-2*x)-exp(-x) devient rapidement très faible devant celle de x ce qui fait que f(un)-n≈ un-n=0 ==> un ≈n ---------------------------- Le graphe de h(x,n)=f(x)-n s’obtient par translation de vecteur {0, -1} du graphe de h{x, n-1}. Toutes les fonctions h{x,n} ont pour dérivée f’(x) et sont croisantes monotones sur R+. Comme h{0, n} 0 leur graphe coupe l’axe des x en en seul point dont l’abscisse est solution de h{x,n}=f(x)-n=0 ce qui montre qu’il existe un seul réel positif Un solution de h{x,n}=f(x)-n ------------------- Les Un est une suite croissante car des relations f{U1)=1 et f{U2)=2 ion déduit que f{U2)-f{U1)=1 et plus généralement que f{Un)-f{Un-1)=1 ce qui montre que f{U2) > f{U1). La fonction f(x) étant croissante sur R+ il s’en suit que f{U2) > f{U1) ==> U2> U1 ------------------- Lorsque x> 0 exp(-2*x)-exp(x)<0 et (on ajoute x de chaque côté de l'inégalité) f(x) =x+exp(-2*x)-exp(x)<x Lorrsque x-> ==> exp(-2*x)-exp(x) -> 0- et f(x) ->x ce qui veut dire que Un solution de f(x)-n ≈ x-n -> n -> 5-------------------------- 1+exp(-2)+exp(-4).......+exp(-2*n) est la somme de 0 à n d’une suite géométrique un de premier terme u0=1, de raison r=exp(-2) et de terme général un =un-1 *exp(-2). La somme de ces n+1 termes vaut S=(1-r(n+1))/(1-r) il s’en suit que 1+exp(-2)+exp(-4).......+exp(-2*n)=(1-exp(-2)^(n+1))/(1-exp(-2)=(1-exp(-2*(n+1))/(1-exp(-2) 6-------------------------- Je ne comprends pas bien la question, sagit-il de montrer que Vn est la somme d'une suite arithmétique et de deux suites géométrique ou bien (ce que je pense) que la sommes Sn des termes de Vn est la somme d'une suite arithmétique et de deux suites géométrique ???.
j3ss-s3cr3t Posté(e) le 28 décembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 28 décembre 2009 J'avoue que j'ai eu beaucoup de lecture et que j'ai appris beaucoup de choses, mais quelques questions demeurent. Pour la question 2 est-ce obligé de passé par un changement d'inconnu X=exp(-x) et de faire son delta? J'ai trouver l'idée vraiment intéréssante, mais j'avais pas fait comme ça, j'avais d'baord fait le signe de (exp(-x)-1) puis de (-2exp(-x)-1) et j'ai fais le tableau, je trouver ce qui correspondait. La 3 c'est bon. La 4a pour Barbidoux, qu'à tu rentrer comme suite dans ta calculatrice? Je ne trouve pas, j'ai essayer de mettre n + exp(-2n) - exp(-n) ce n'est pas ca et en n min je mets quoi? Et pour répondre à ta question sur la 6 c'est montrer que Vn est somme d'une suite arithmétique et de deux suites géométriques et en déduire que Sn= somme {k=0}^{n} Vn La 4b c'était pas par récurrence, c'est moi qui l'avais rajouté car je pensais que c'étais par là qu'il fallait passer. 4c Ok 4d Ok aussi 5 et 6 ok Demain je vais chez mon amie pour qu'elle me montre ce qu'elle a trouver et comparer avec vos résultats, si j'ai encore des questions, je les posterais. Merci à tout le monde. Bisous
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 28 décembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 28 décembre 2009 La 4a pour Barbidoux, qu'à tu rentrer comme suite dans ta calculatrice? Je ne trouve pas, j'ai essayer de mettre n + exp(-2n) - exp(-n) ce n'est pas ca et en n min je mets quoi? Et pour répondre à ta question sur la 6 c'est montrer que Vn est somme d'une suite arithmétique et de deux suites géométriques et en déduire que Sn= somme {k=0}^{n} Vn
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