Exercices De Math

[titemiss]

pourriez-vous m'aider s'il vous plaît car javoue que ce chapitre je ne l'ai pas bien compris

merci d'avance

[Barbidoux]

Si j'ai bien compris ce qui était demandé....

Exo1----------------------------

L'étude de la dérivabilité d'une fonction d'une variable réelle est basée sur des théorèmes et des fonctions de référence qui permettent de conclure. On sait que le produit, la somme, l'inverse (si la fonction ne s'annulle pas) de fonctions dérivables sont dérivables. En outre une fonction f(x) est dérivable sur un intervalle I pour toute valeur de x, si toutes les images de x par la dérivée df/dx appartiennent à I. Ce qui signifie df/dx continue sur I.

f(x)=sin(Pi/2-2x) est définie sur R et f’(x)=-2*sin(x) l’est aussi donc f(x) est dérivable sur R

g(x)=((2*x+1)/(3-x))^3 est définie sur R\{3} et f’(x)=(3 (2 x+1)^3)/(3-x)^4+(6 (2 x+1)^2)/(3-x)^3= 21*(2*x+1)^2)/(x-3)^4 l’est aussi donc g(x) est dérivable sur R\{3}

h(x)=cos^2(2*x) est définie sur R et h’(x)=-4*cos(2*x)*sin(2*x) l’est aussi donc h(x) est dérivable sur R

l(x)=(x-1)*√(x^2-1) est définie sur ] - ; -1] [1; [ et l’(x)=((x-1) x)/√(x^2-1)+√(x^2-1) n’est est définie que sur ] - ; -1[ ]1; [ donc l(x) est dérivable sur ] - ; -1[ ]1; [

[Barbidoux]

Exo2----------------------------

f(x)=x^2

f(2+h)=4+4*h+h^2 ==> approximation affine f(2+h) 4+4*h erreur commise ∆f(h)=f(2+h)-(4+4*h)=h^2

f(2,009) 4,036 erreur commise (9*10^(-3))^2=3,6*10^(-5) < 10^(-4)

[Barbidoux]

Exo3---------------------------

f(x)=x*cos(x)

f’(x)=cos(x)-x*sin(x)=x*cos(x+Pi/2)+cos(x)

f’’(x)=-x*cos(x)-2*sin(x)=x*cos(x+2*Pi/2)+2*cos(x+pi/2)

f³(x)=-3*cos(x)+x*sin(x)=x*cos(x+3*Pi/2)+2*cos(x+2*pi/2)

on suppose que

f^n-1(x)= x*cos(x+(n-1)*Pi/2)+(n-1)*cos(x+(n-2)*pi/2)

donc :

fⁿ(x)=cos(x+(n-1)*Pi/2)-(n-1)*sin(x+(n-2)*Pi/2)-x*sin(x+(n-1)*Pi/2)=cos(x+(n-1)*Pi/2)+(n-1)*cos(x+(n-1)*Pi/2)+x*cos(x+n*Pi/2)=n*cos(x+(n-1)*Pi/2)+x*cos(x+n*Pi/2)

[Barbidoux]

Exo4---------------------------

f(x)=x-2/(x^2+1)

f’(x)=1+4*x/(x^2+1)^2 =((x^2+1)^2+4*x)/(x^2+1)^2=(x^4+2*x^2+4*x+1)/(x^2+1)^2

f”(x)=4/(x^2+1)^2-(16 x^2)/(x^2+1)^3=(4-12 x^2)/(x^2+1)^3 qui s’annule pour x=√3/3 et x=- √3/3

..................................- √3/3...................... √3/3........................

f”(x).............(-).............(0).........(+).............(0)..........(-).............

f’(x)......decrois...........Min........crois...........Max........decrois........

f’(-1)=0 racine évidente

Dans l’intervalle [-0,3; -0,2] la fonction f’(x) est croissante et comme f’(-0,3)=-0,010 et f’(-0,2)=0,26 on peut donc en conclure que le graphe de f’(x) intercepte l’axe ox entre -0,3 et -0,2 autrement dit que f’(x) admet une racine comprise entre -0,3 et -0,2. Au vu des valeurs de f(x) en ces points on peut en déduire que cette racine est proche de -0,3.

.............................- 1......................≈ -0.3........................

f’(x).........(+)..........(0).............(-)..........(0).......(+)

f(x)........crois........Max......decrois......Min......crois........